いつも大変お世話になっています。

Zを整数環とする。Z_m (mは自然数)の極大イデアル(真に大きいイデアルはZ_mのみ)と素イデアル(a,b∈Z_mでab∈Iならa∈Iか
b∈I)を求めよ。
という問題ですが
Z_7とかなら単項イデアル(2),(3),(5)が極大&素イデアルとなり,Z_12とかなら 単項イデアル(2),(3),(7),(11)が極大
&素イデアルとなるので
1<n<mの内,素数となるnが極大&素イデアルとなったのですが勘違いしてますでしょうか?
常に極大イデアルと素イデアルが一致しているのがなんだか解せませんが。

命題「IがZのイデアルならばIは素イデアル⇔Iは極大イデアル⇔Iは素数pの単項イデアル」が使えるかもと思いましたが,この場合のZは整域になって
いてZ_mは整域とは限らないので使えませんよね。

吉田京子