ご回答大変有難うございます。

>> 環の定義は「+に関して可換群,・に関して半群,分配法則が成り立つ」です。
> 今は 1 を持つ可換環を考えているのでしょう.

そうでしたね。Z_mは単位元を持つ環でした。

>> えっ?どうしてでしょうか? 今(7)=Z_12なので∀a,b∈Z_12=(7)でab∈(7)なら既にa,b∈Z_12=(7)なのでa∈(7)
>>　or b∈(7)が言えていて,(7)は素イデアルになっていると思うのですが。。
> 素イデアルの定義には, 「 R 全体ではないイデアルで」という
> 限定が付いています. 極大イデアルもそうです.

そうでした。肝心な事を忘れてました。すいません。

>> IをZのイデアルとすると0∈Iの時は,I=(0)と書ける,
> I は R の部分 R-加群ですから, いつでも 0 は含んでいます.
> 0 を含んでいるからといって, I = (0) となる筈がないでしょう.

そうでしたね。(1)や(2)も0を含みますね。

>> 0≠a∈Iの時は(a)⊂Iと書け,∃b∈I＼(a)でもし, aが単元なら
>>b=b・1=b・(a・a^-1)∈(a)なので aが単元の時はa∈Iなら(a)=I.
> 既に注意したように, I が unit を含めば, I = R です.

すいません。これもそうでした。

>> もし aが単元でない時は,I⊃(a,b)={am+bn;m,n∈Z}となり,
>> ここから単項イデアルに持っていけませんがどうすればいいのでしょうか?
> それは Z_m が Z/mZ であるということを使わなければ,
> 出てくる筈がありません.
> 準同型写像 π: Z → Z/mZ = Z_m による Z_m のイデアル I の
> 引戻し π^{-1}(I) は Z のイデアルで, Z は単項イデアル整域
> ですから, π^{-1}(I) = (k) = kZ となる k ∈ Z があります.
> π^{-1}(I) は mZ を含むイデアルですから,

今,π(k):=kmod(m)と定義されてるんですよね。Z_mは単項イデアル環ですから
I=(xmd(m))=({y∈Z;m|y^-1x})と書ける。そのπによる引き戻しですから
π^-1(I)=(x)でここからどうしてmZを含むと分かるのでしょうか?

>  k | m です.

mZを含めばそのようになりますね。

> I = (π(k)) ですが, Z_m/I 〜 Z/kZ に注意すれば,

Z_m/I 〜 Z/kZの環同型写像fはf(xmod(m)(π(k))):=xmod(k)と定義されているのですね。

> I が素イデアルになるのは Z/kZ が整域になる場合,

つまり,Z_m/I 〜 Z/kZが成り立つのはIが素イデアルの時なのですね。
ええと,今,IはZ_mのイデアルで上記からI=(π(k))=(kmod(m))なのですよね。
Z/kZが整域ならばxmod(k)ymod(k)=0mod(k)ならばxmod(k)=0 or ymod(k)=0ですよね。
Z/kZが整域でZ_m/I 〜 Z/kZが成り立っているならIが素イデアルである事をどうやって示せますでしょうか?

> I が極大イデアルになるのは Z/kZ が体になる場合, である
> ことが分かります.

Z/kZが体だからkは素数ですよね。Z/kZが体でZ_m/I 〜 Z/kZならばどうやってIが極大である事を得れますか?

>> Z_mが単項イデアル環だとすると mが素数の時は(1)=Z_mで素イデアル&非極大イデアル,
> だから, Z_m 全体は素イデアルであるとは言いません.

そうでしたね。

>> そして(0)が素イデアル&極大イデアル。
> これは既に注意しました.

はい,そうですね。

>> mが合成数の時は,0<m'<mなる素数m'が単元になるので
> 素数 m' が m を割り切っていれば, m' は unit では
> ありません. 又, m' が素数でなくても,
> m と互いに素な数であれば, unit になります.

有難うございます。

>> m''|m'なる合成数m''∈Zが存在しないなら, p|m'(但し,pは素数)で
>> (m')⊂(p)=Z_mとなり,(m')は極大イデアルと言える。
> p が m を割り切っていて, m と異なれば, (p) と Z_m とは
> 一致しません.

Z_12で(2)は3を含みませんから(2)≠Z_12ですね。でも(2)より大きいイデアルはZ_12子かありませんから極大イデアルになるのです
ね。
しかも素イデアルにもなってますね。
因みにこの時,gcd(2,12)=1で2は素数となっていますね。
Z_20で9はgcd(9,20)=1で9は合成数となっていてこの場合は9は単元なので(9)=Z_20となりますね。

> もう一度お考え直し下さい.

mが合成数の時,gcd(a,m)=1の時(a)=Z_mで非素イデアル&非極大イデアルですね。
gcd(a,m)≠1でaは素数の時は(a)は素イデアル&極大イデアルになるのですね(∵Z_12で(2)の場合など)。
gcd(a,m)≠1でaは合成数の時は(a)は非素イデアル&非極大イデアルになるのですね(∵Z_20で(9)の場合など)。