工繊大の塚本です.

In article <f90ebefc-000f-4ed3-9872-5fa3d93defa9@n4g2000vba.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> ところでIがイデアルならπ^-1(I)もイデアルである事は
> どうすれば言えるのでしょうか?
> そしてmZを含む事とπ^-1(I)が単項イデアルである事から
> Iも単項イデアルである事はどうすれば言えますでしょうか?

考えてみてから質問されていますか.

> 必要性はIがZ_mの素イデアルだというのだから,
> にI≠Z_mでx,y∈Z_mに対し,xy∈Iならx∈Iかy∈Iと書ける。
> x+I,y+I∈Z_m/Iに於いて,(x+I)(y+I)=0とすると,
> xy+I=0(∵剰余類の掛け算の定義)でxy+I=0+Iでxy=0で

だから, Z_m/I において [x][y] = [0] ということは,
 Z_m において xy ∈ I ということです.

> ここからx=0かy=0はどうすれば言えますでしょうか?
> 何処で"x,y∈Z_mに対し,xy∈Iならx∈Iかy∈I"という性質を使えばいいのでしょうか?

使えば直ぐに出ます.

> 十分性はZ/kZが整域である事から,
> x+I,y+I∈Z_m/Iに於いて,(x+I)(y+I)=0ならx+I=0かy+I=0,
> つまりx=0かy=0で
> ここからどうすればIが素イデアルである事が導けますでしょうか?

 Z_m において xy ∈ I であれば,
 Z_m/I において [x][y] = [0] ですから,
 Z_m/I が整域で,
 [x] = [0] または [y] = [0] となるのであれば,
 x ∈ I または y ∈ I です.

> 必要性は(自然な環準同型)f:Z→Z/IをZ∋∀z→f(z):=z+Iとすると,
> これは全射環準同型で
> 環同型写像∃g:{I;Kerf⊂I,IはRのイデアル}→{I;IはR/Jのイデアル}
> (∵R,R'が環で全射環準同型∃h:R→R'ならKerhはRのイデアルで
> 環同型写像∃l:{J;Kerh⊂J,JはRのイデアル}→{J;JはR'のイデアル})。

なんだか混乱しているようですが, ともあれ,
最初の質問の答えは, この部分をきちんと復習することですね.

> もしJがRでの極大イデアルならg(J)={0+J}でg(R)=R/Jとならねばならない
> (∵KerfはRのイデアル。そして極大イデアルの定義)。
> 従って「Rを可換環,IをRのイデアルとする。
> R/Jが体⇔{I;J⊂I,IはRのイデアル}={R,0}」より,Z_m/Iは体。

これらもなんだか混乱しているようです.

> 十分性はZ_m/Iが体なら{J;I⊂J,JはZ_mのイデアル}={Z_m,0}なので
> Iは極大イデアル(∵極大イデアルの定義)。

これも混乱していますね. 多分分かっていないのでしょう.

こういったところは基本ですから, きちんと復習して下さい.

> mが素数,(0)のみが素&極大。それ以外は非素&非極大。
> mが合成数でgcd(a,m)=1なら(0)や(a)は非素&非極大。
> mが合成数でgcd(a,m)≠1でaは素数なら(a)は素&極大。
> mが合成数でgcd(a,m)≠1でaは合成数なら(a)は素&極大。

間違っていますね.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp