ご回答大変有難うございます。

>>> 集合論の立場では A × B の部分集合 C であって,
>>>  (a, b) ∈ C, (a, b') ∈ C ならば b = b'
>>> を満たすものが (graph f = C となる)
>>> 写像 f: pr_A(C) → pr_B(C) を定めることになります.
>> 射影も写像の一種ですから,射影を使って写像を定義する事はできませんよね。
> 分かり易いように写像の記法で書きましたが,
> 上で pr_A(C) としたものは { a ∈ A | ∃ b ∈ B s.t. (a, b) ∈ C },
> 上で pr_B(C) としたものは { b ∈ B | ∃ a ∈ A s.t. (a, b) ∈ C }
> と定義すれば宜しい.

そうですね。これは分かり易いです。

> さて問題.
>   問 1: 射影 pr_A: A × B → A, 射影 pr_B: A × B → B は
>         それぞれどう定義しますか.

pr_A:={((a,b),a);a∈A,b∈B},  pr_B:={((a,b),b);a∈A,b∈B} と定義します。

>   問 2: 写像 f: A → B と A の部分集合 C に対して
>         像 f(C) はどう定義しますか.

f:={(a,b)∈A×B;b∈B'⊂B and (a,b),(a,b')∈A×B⇒b=b'}
その時,f(C):={b∈B;(a,b)∈f∩(C×B)}
と定義すればよいでしょうか。

>>> 集合論では graph の方が主たる対象となるわけですが,
>>> 写像と写像の graph とは違うものだと考える方が
>>> 普通でしょう.
>> でもそうしますと,写像の定義は聞かれると答えれなくなってしまうのでは。。
>  naive な理解で良いと思いますよ.

そうですか。

>>> ともあれ, A × B の部分集合 C が写像を定めるには
>>> どんな条件が必要ですか, という質問に対する答えが
>>> 直ちに返ってこないようでは, 集合論的に写像を
>>> 扱うことは覚束ないでしょう.
>> 実は集合論ではgraphは写像の定義そのものではないのでしょうか??
> そう考えるのは, 十分に数学的基礎力が身に付いた後で良いでしょう.

そうですか。

>> fが集合Xから集合Yへの写像 ⇔
>> (i) もしX≠φならY≠φ
>> (ii) ∀(x,y),(x,y')∈X×Yに対してy=y'
>> が写像の定義だと思います。
> 全く, 相変わらず, graph f と X × Y との区別が付いていませんね.
> 御自分で上の定義の誤りを先ず訂正して御覧なさい.

fが集合Xから集合Yへの写像 ⇔
(i) もしX≠φならY≠φ
(ii) f⊂X×Y' (但し,Y'⊂Y)で∀(x,y),(x,y')∈X×Yに対してy=y'

ではどうでしょうか?


>> そしてgraphとは写像そのものの事(graphの定義は写像の定義と同じ)だと思います。
> 集合 X と集合 Y の直積集合 X × Y の部分集合 C が
>  X の部分集合 X' から Y の部分集合 Y' への
> 写像

f:X'→Y'をその写像とすると

> の graph であるとは,

C=graph(f)の定義ですね。

>  (x, y) ∈ C, (x, y') ∈ C であれば y = y'

像の一意性ですね。

> が成立することとし, X' = { x ∈ X | ∃ y ∈ Y, (x, y) ∈ C }

X'がfの原像で

>  Y' = { y ∈ Y | ∃ x ∈ X, (x, y) ∈ C } とします.

Y'がfの像である事の主張ですね。

> このとき, x ∈ X' に対しては,
>  (x, y) ∈ C となる y ∈ Y' が唯一つ定まりますから,
>  y = f(x) と書くことにします.
> この x ∈ X' に対して y = f(x) ∈ Y' を対応させる対応のことを
> 写像 f: X' → Y' とするわけです.

ありがとうございます。

> 逆に, x ∈ X' に対して Y の(唯一つの)元 f(x) を
> 対応させる対応があれば,
>  C = { (x, f(x)) | x ∈ X' } という X × Y の部分集合が
> 決まりますが, これを graph f とすれば,
> 先程の写像の graph の条件を満たします.

これも有難うございます。

>> 勘違いしてますでしょうか?
> 「対応」というのが naive な概念で使いたくない, というのは
> 結構ですが, それには十分な数学的習熟が必要であろう,
> ということです.

そうでしたか。了解です。