ご回答誠に有難うございます。

確認させていただきたいのですが

>> ∪_{g∈S'}gが写像になる事、
>> graph(∪_{g∈S'}g)⊂∪_{g∈S'}graph(g)、
>> graph(∪_{g∈S'}g)⊃∪_{g∈S'}graph(g)の
>> 3点を言えばいいのでしょうか?
> 違います.
> 私が何回も指摘しているのは,
>  ∪_{g∈S'}g は未定義であるということです.

写像gはA×Bのある部分集合A'_g×B'_gとみなす事はができますよね
(A'_gの各元に対してB'_gの元が唯一つ決まっているので)。

それでS'∋g,h:全単射 に対してg∪hは
今,g≦hかg≧hなのでgraph(g)⊂graph(h)かgraph(g)⊃graph(h)のどちらかになりますよね(∵S'は
chain)。
よってg∪h=hかg∪h=gが成立ちますよね(つまりどちらかに吸収される)。
従って (A×B⊃)∪_{g∈S'}g は写像になると思うのですがやはり勘違いしてますでしょうか?

∪_{g∈S'}g が写像をなす事は
「(a,b),(a,b')∈∪_{g∈S'}gに対して
∃g,h∈S';b=g(a),b'=h(a) (∵和集合の定義)とすると,
今,S'はchainなのでg≦hかg≧h
その時,graph(g)⊂graph(h)かgraph(g)⊃graph(h)なので
b,b'∈graph(h)かb,b'∈graph(g),
更に(S'⊂)Sは全単射の集合,  故にb=b'が成立せねばならない。 」
というのは∪_{g∈S'}gが写像であるという証明にはなっていないのでしょうか?