遅くなりましてもうしわけありません。

>> 有難うございます。お蔭様で
>> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/measure_theory/Zorn_le...
>> という具合に示せました。
> これも証明にはなっていません.

大変失礼致しました。

>  ∪_{g ∈ S'} graph(g) = graph(∪_{g ∈ S'} g)
> の ∪_{g ∈ S'} g に定義をきちんと与えましょう.

∪_{g ∈ S'} g :={(a,b)∈A×B;∃g∈S' such that g(a)=b} です。

> 更にそれが S の元であることも示しましょう.
> その証明で S' が chain であるという条件が
> 使われていることを確かめましょう.

例えば、f,g∈S'ならf≦g(かf≧g)となる(∵S'は鎖なので全順序集合)。
よってgraph(f)⊂graph(g)(かgraph(f)⊃graph(g))となる(∵≦の定義)。
その時,f≦f∪g,つまり全単射fのグラフは全単射f∪gにのグラフに吸収された形となるので
∪_{g ∈ S'} gも全単射となる。
従って,∪_{g ∈ S'} g ∈S (∵Sの定義)
となるのですね。