どうもご回答ありがとうこざいます。

>  ∪_{g ∈ S'} graph(g) がある写像の graph
> になることを
> 言おうとしているときに, その写像に ∪_{g ∈ S'} g
> という名前を
> 先に与えるのは良くないと思いますが, それはさておき,

そうでしたか。すいません。

>> proj_A(∪_{g∈S'}graph(g))が定義域で
>> proj_B(∪_{g∈S'}graph(g))が値域です。
>> 従って,proj_A(∪_{g∈S'}gの定義は
>  ∪_{g∈S'} g の定義ですか.
>  a ∈ proj_A(∪_{g∈S'} graph(g)) のとき,
>  proj_A(∪_{g∈S'} graph(g)) = ∪_{g∈S'}
> proj_A(graph(g))
> ですから,

そうですね。

>> ∀a∈proj_A(∪_{g∈S'}graph(g))に対して,∃g∈S';a∈dom(g)
>> (∵もし∀g∈S',aはdom(g)に含まれないとすると
>> 即ち(a,g(a))は∪_{g∈S'}graph(g)に含まれないとすると
>> (∵graphの定義),それでaはproj_A(∪_{g∈S'}graph(g))に
>> 含まれない。
>> 従ってこれはa∈proj_A(∪_{g∈S'}graph(g))に矛盾)
>  a ∈ proj_A(graph(g)) となる g ∈ S'
> があるというのは良い

「 a ∈ proj_A(∪_{g∈S'} graph(g)) のとき,
proj_A(∪_{g∈S'} graph(g)) = ∪_{g∈S'}
proj_A(graph(g))」

よりそうですね。.

> このとき, a ∈ dom(g) ですが, 他にも a ∈ dom(h)となる
>  h ∈ S' があったとして, g(a) = h(a)
> を示す必要がある.

そうですね。写像である事を示すのでからね。

>> 更にたとえ∃g,h∈S';a∈dom(g),a∈dom(h)であってもg(a)=h(a)
>> (∵今S'は全順序なのでg≦hかg≧h,即ちgraph(g)⊂graph(h)
>> かgraph(g)⊃graph(h)
>> 従って{∪_{g∈S'}g)(a)}は単集合),
> ここで, S' が chain
> であることを使っていることを明確に
> しておくことが肝要です.

 (∵今S'は全順序なのでg≦hかg≧h,即ち
↓
 (∵今S'はchainなのでg≦hかg≧h,即ち

と明確にすべきですね。

>> で一応,写した先が1つの元になっているのでこれで写像の定
>> 義としてみたいのですが
>> これは苦し紛れですね。
> いや当然のことです.

これもそうですね。

> それとも∪_{g∈S'}(g):=∪_{g∈S'}graph(g)と強引に定義
> してみたりしたのですが,,,
> それは何も主張したことにならない虚の記号操作です.

すいません。ここはgraph(∪_{g∈S'}g)=∪_{g∈S'}graph(g)を言わねばなりませんね。

⊂については
∀x∈graph(∪_{g∈S'}g)を採ると,
x∈{(a,(∪_{g∈S'}g)(a))∈A×B;a∈proj_A(∪_{g∈S'}g))} (∵graphの定義)
x∈{(a,g(a))∈A×B;∃g=S'}なので(∵和集合の定義)
∃g∈S';x=(a,g(a)) (where a∈A) (∵S'は全単射全体の集合Sのchain)。
その時,x∈graph(g)⊂∪_{g∈S'}graph(g).  従って, ⊂が成立つ。
逆に,∀x∈∪_{g∈S'}graph(g)を採ると,∃g∈S';x∈graph(g) (∵和集合の定義).
その時, x∈graph(∪_{g∈S'} g) (∵g⊂∪_{g∈S'} g (∵和集合の定義)).
従って,⊃が成立つ。

ですかね。

>>> ここで求められているのは, ∪_{g ∈ S'} graph(g)
>>> ある写像の graph となっていることを示すことです.
>>> つまり,∪_{g∈S'}gのgraphになっている事ですよね。
>  A × B の部分集合 C が写像の graph になるとは,
>  (a, b) ∈ C, (a, b') ∈ C であれば, b = b' である,
> ということです.

有難うございます。行き先は1つの元なのでb=b'でなければなりませんね。
つまり,
「C=graph(∪_{g∈S'} g)⇔もし(a,b),(a,b')∈Sならb=b'」
が
Cが∪_{g∈S'} gのgraphである事の必要十分条件なのですね。

>>> 先ず, A × B の部分集合が, A
>>> のある部分集合上で定義
>>> された,
>>>  B のある部分集合に値を取る, ある写像の graph
>>> になる為の
>>> 必要十分条件は何であるかを述べた上で,
>> fをA'⊂AからB'⊂Bへの写像とするとf=graph(f)が必要十分
>> 条件だと思います。
> それも意味のない言葉の羅列ですね.

失礼致しました。

>>>  ∪_{g ∈ S'} graph(g) が, 実際,
>>> その条件を満足することを示すことです.
>> うーんと,
>> ∪_{g∈S'}graph(g)=∪_{g∈S'}(g)
>> (∵∪_{g∈S'}(g):=∪_{g∈S'}graph(g))
>> =graph(∪_{g∈S'}g) (∵∪_{g∈S'}gは写像より)
>> とかしてみたのですが。。。
> 記号を並べただけでは意味のある主張にはなりません.

これも失礼致しました。

>>> 実の所, 更に,
>>> その写像は全単射でなければなりませんから,
>>> 先ず, A × B の部分集合が,
>>> Aのある部分集合上で定義された,
>>>  B のある部分集合に値を取る, ある全単射写像の
>>> graphになる為の必要十分条件は何であるかを
>>> 述べた上で,∪_{g ∈ S'} graph(g) が, 実際,
>>> その条件を満足することを示す必要があります.
>> A×B⊃A'×B'においてMap(A',B')∋f:全単射 痳z・
>> ∀a∈proj_A(graph(f)),∃!f(a)∈proj_B(graph(g))ですかね。
>  (a, b) ∈ C, (a, b') ∈ C であれば, b = b' である,
> に加えて,

これは写像の定義ですよね。

>  (a, b) ∈ C, (a', b) ∈ C であれば, a = a' である,

これは単射の定義ですね。

> ことが必要十分条件になります.

ありがとうございます。
「graph(∪_{g∈S'} g)が全単射のgraph
⇔
もし(a,b),(a,b')∈graph(∪_{g∈S'} g)ならb=b'…(1)
且つもし(a,b),(a',b)∈graph(∪_{g∈S'} g)ならa=a'…(2)」
ですね。

必要性について
∃g,h∈S';b=g(a),b'=h(a)とすると,今S'はchainなのでg≦hかg≧h
その時,graph(g)⊂graph(h)かgraph(g)⊃graph(h)なので
b,b'∈graph(h)かb,b'∈graph(g),
更に(S'⊂)Sは全単射の集合,  故にb=b'が成立せねばならない。
(1)と同様に(2)も示される。

十分性について
今,(a,b),(a',b')∈graph(∪_{g∈S'} g)で(a,b)=(a',b')∈∪_{g∈S'} g とすると(∵仮定
(1)&(2)),
これはもしa=a'なら(∪_{g∈S'} g)(a)=(∪_{g∈S'} g)(a')を意味している。
うーん、ここから頓挫してしまいました。

>>>> ∪_{g ∈ S'} gも全単射となる。
>>> これには理由が示されていません.
>> 常に全単射のgraphに吸収され続けるのでその極限のgraph
>> 全単射かなあと思ったのですが
> 論理的にはどのように示せばいいのかわかりませんでした。
> 上の必要十分条件を用いて, 論理的に示すことを
> 試みられることをお勧めします.

∪_{g ∈ S'} gも全単射となる事は
a≠a'なるa,a'∈dom(∪_{g ∈ S'} g)を採ると,∃g,h∈S';a∈dom(g),b∈dom(h) (∵和集合の定義)
その時,S'はchainなのでg≦hかg≧hでgraph(g)⊂graph(h)かgraph(g)⊃graph(h).
それでa,a'∈graph(h)かa,a'∈graph(g)となる。
それでa,a'∈dom(h)かa,a'∈dom(g) (∵graphの定義)なので
h(a)≠h(a') (∵h∈S'⊂S)かg(a)≠g(a') (∵g∈S'⊂S)なので
hは単射かgは単射,
即ち,a≠a'なる∀a,a'∈dom(∪_{g ∈ S'} g)に対して,必ず∃h∈S';h(a)≠h(a').
この時これは(∪_{g ∈ S'} g)(a)≠(∪_{g ∈ S'} g)(a')を意味している。
従って,∪_{g ∈ S'} gは単射。
次に全射になる事は
∃b∈range(∪_{g ∈ S'} g)…(3);(∪_{g ∈ S'} g)^-1(b)がdom(∪_{g ∈ S'} g)に含まれな
い…(4)
と仮定してみると
(3)より∃h∈S';b∈range(h) (∵和集合の定義).
この時,hは全射なので∃a∈dom(h)だが
h⊂∪_{g ∈ S'} gなので∃a∈dom(∪_{g ∈ S'} g)を意味する事になる。
これは(4)に反する。よって∪_{g ∈ S'} gは全射。

で∪_{g ∈ S'} gが全単射になる事は示せました。