工繊大の塚本です.

In article <k64ou1$lde$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 後, ∫_{C_ε}|ln(u)|^2exp(|h||ln(u)|)u^{Re(s)-1}/(exp(u)-1) |du|が有界なら
> どうして
> lim_{h→0}|∫_{C_ε}[(Σ_{n=2}^∞h^{n-2}(ln(u))^n/n!)u^{s-1}]/(exp(u)-1) du|
> が収束すると分かるのでしょうか?

目標を忘れてはいけません.

 lim_{h \to 0}
  h \times \int_{C_\epsilon} (\sum_{n=2}^\infty h^{n-2} (log(u))^n/n!)
                               \times u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du
  = 0

を示すには,

  \int_{C_\epsilon} (\sum_{n=2}^\infty h^{n-2} (log(u))^n/n!)
                               \times u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du

とか,

  |\int_{C_\epsilon} (\sum_{n=2}^\infty h^{n-2} (log(u))^n/n!)
                               \times u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du|

が (h \to 0 で) 収束することを示す必要はない. 
# Lebesgue の定理を用いれば示せますが.
有界であることさえ言えば良い.
# この形での証明だと Lebesgue の定理を知らない人にも説明できる
# わけです.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp