ご回答誠に有難うございます。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/def_of_topological_manifold__01.jpg
> Home 等といった意味不明の略語の意味不明な使い方をしているものを
> 評価できません.

これは大変失礼いたしました。
Home(X,Y)でXからYへのhomeomorphism全体の集合を意味してました。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/def_of_topological_manifold__02.jpg
> \phi_\lambda は U_\lambda から C^n の中への同相写像なので,
> biholomorphic という概念は適用できません.

位相多様体の定義では不要な概念という事ですね。

然し,n次元複素多様体の定義
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_complex_manifold__00.jpg
でbiholomorphicの定義が必要なのですね。

> topological manifold は C^1 ではなく C^0-manifold である
> ということは既に注意しました.

どうも有難うございます。

>> なら大丈夫でしょうか?

> 細かい点で色々と間違っています.

そっそうですかっ。

>> [定義ア]
>> 「XをTを位相とする位相空間とし,Λを添数集合,
>> Map(U_λ,C^n)をU_λ∈TからC^nへの写像の集合とし,
>> {Map(U_λ,C^n);λ∈Λ}をその族とする時,
>> 族{Map(U_λ,C^n);λ∈Λ}が空でない時,その族の元,即ち,
>> Map(U_λ,C^n)がU_λからC^nへの同相写像の集合の部分集合となる時,
>> この族の元をU_λ上のchartと呼ぶ」
> chart というのは X の開集合 U と R^n の開集合 V と

C^nでは定義できないのでしょうか?

あと,
[定義キ]　(X,T)を位相空間とする時,∀(f,D)∈Home(X,R^n)×Tに対して,Home(D,f(D))∋φが一意的に存在する(∵要証)。
この時,このφをDからf(D)へのchartと呼ぶ」
という定義でも大丈夫でしょうか?

> その U から V への同相写像 \phi の
> 組 (U, V, \phi: U \to V) のことです.
> 略して, 同相写像 \phi: U \to V のこと, とする方が未だまし.
> 「族」なんて何処にも出て来ません.

どうも有難うございます。了解です。chartとは同相写像の一種だったのですね。
"UからVへの同相写像φ"を(φ,U,V)とひと記号で表したりするのですね。

>> [定義イ]
>> 「XをTを位相とする位相空間とし,
>> Λを添数集合,Map(U_λ,C^n)をU_λ∈TからC^nへの写像の集合とし,
>> {Map(U_λ,C^n);λ∈Λ}をその族とする時,その族がX上のatlasであるとは,
>> (i) 集合{U_λ;λ∈Λ}がXの開被覆である,
>> (ii) 任意のλ∈Λに対して,U_λ上のchart f_λが存在する,
>> ことであると定義する」

これで一応は間違いではないのですよね。

> atlas とは charts の集まりで,
> X の開被覆となるものです.

chartはようは写像なので,結局はatlasは写像の集まりなのですね。

>> [定義ウ]
>> 「XをTを位相とする位相空間とし,Λを添数集合,
>> Map(U_λ,C^n)をU_λ∈TからC^nへの写像の集合とし,
>> {Map(U_λ,C^n);λ∈Λ}をその族とする時,
>> Xが{Map(U_λ,C^n);λ∈Λ}に関してn次元位相多様体をなすとは,
>> {Map(U_λ,C^n);λ∈Λ}がX上のatlasである事と定義する」
> Hausdorff 位相空間 X に atlas が存在するとき,
> X は位相多様体になります.

有難うございます。Hausdorff空間である事が必須なのですね。
"n次元位相多様体"と呼んでもいいのですね。

> [定義エ]
>> 「C^nを位相空間とし,U∈T(但し,TはC^nの通常の位相とする)とする時,
>> UからC^nへの同相写像φがUのbiholomorphismであるとは,
>> (i) φは全単射な正則関数,
>> (ii) φ(U)はTの元,
>> (iii) φ^-1も正則関数,
>> である事と定義する」

この定義はOKですね。

>> [定義オ]
>> 「XをTを位相とするHausdorff空間とし,{U_λ}_{λ∈Λ}をXの開被覆とする時,
>> Xは{U_λ}_{λ∈Λ}に関してn次元複素多様体をなすとは
>> 任意のλ∈Λに対して,下記を満たすU_λからC^nへの関数φ_λが存在する事と定義する,
>> 任意のλ,μ∈Λに対して,
>> φ_μ(U_λ∩U_μ)からφ_λ(U_λ∩U_μ)への(合成)関数φ_λφ_μ^-1がbiholomorphicとなる。
>> そして,集合{(U_λ,φ_λ)∈T×Corr(C^n,C^n);φ_λはbiholomorphic,λ∈Λ}
>> (但し,Corr(C^n,C^n)はC^nからC^nへの対応の集合とする)
>> をsystem of holomorphic coodinate neighbourhoodと呼ぶ事にしする。
>> 特に1次元複素多様体はRiemann面と呼ばれる」
> X の atlas { \phi_\lambda: U_\lambda \to V_\lambda }_{\lambda \in \Lambda} 
> で
> 任意の \lambda, \mu \in \Lambda で U_\lambda \cap U_\mu が空集合でない
> ものに対し,
>  \phi_\lambda \circ (\phi_\mu)^{-1}:
>    \phi_\mu(U_\lambda \cap U_\mu) \to \phi_\lambda(U_\lambda \cap U_\mu)

φ_μとφ_λは夫々U_μとU_λ上のchartsなのですね。

> が biholomorphic となるものが存在するとき,
> X は n 次元複素多様体となります.

わぉ。有難うございます。
このようなatlasの存在があって晴れてn次元複素多様体が構成されるのですね。

つまり,n次元複素多様体とは
「X の atlas { \phi_\lambda: U_\lambda \to V_\lambda }_{\lambda \in \Lambda} 
で
任意の \lambda, \mu \in \Lambda で U_\lambda \cap U_\mu が空集合でない
ものに対し,
\phi_\lambda \circ (\phi_\mu)^{-1}:
\phi_\mu(U_\lambda \cap U_\mu) \to \phi_\lambda(U_\lambda \cap U_\mu)
が biholomorphic となるものが存在するとき,」
なるatlasから成るn次元位相多様体の事であるとも言えるのですね。

>> [定義カ]
>> 「XをTを位相空間,n∈N,α∈[0,∞],Λを添数集合とし,
>> Map(U_λ,C^n)をU_λ∈TからC^nへの写像の集合とし,
>> {Map(U_λ,C^n);λ∈Λ}をその族とし,φ_λ,φ_μをその族の元とし,
>> U_λ∩U_μは空でないとすると,
>> φ_λ(U_λ∩U_μ)からφ_μ(U_λ∩U_μ)の(合成)写像φ_λφ_μ^-1は同相写像となる(要証明),
>> この時,Xが族{Map(U_λ,C^n);λ∈Λ}に関してC^α級位相をなすとは,
>> 任意のλ,μ∈Λに対して,φ_λφ_μ^-1はC^α級となる事と定義する。
>> 特にXが族{Map(U_λ,C^n);λ∈Λ}に関して位相多様体をなすとは
>> Xが族{Map(U_λ,C^n);λ∈Λ}に関してC^1級多様体をなす事と定義する」
> ちゃんと chart, atlas, という言葉を使って,
> C^\alpha 級多様体が定義出来ますか.

[定義カ]
「XをTを位相空間,n∈N,α∈[0,∞],Λを添数集合とし,
Map(U_λ,C^n)をU_λ∈TからC^nへの写像の集合とし,
この時,Xが族{Map(U_λ,C^n);λ∈Λ}に関してC^α級多様体をなすとは,
{U_λ;λ∈Λ}と(f_λ)_{λ∈Λ}からなり下記を満たすatlas 
{Map(U_λ,C^n);λ∈Λ}が存在する事を言う。
任意の(U_α,U_β)∈{(U_α,U_β)∈{U_λ∈T;λ∈Λ}^2;U_α∩U_β≠φ}に対して,∃f_αはU_α上のchart且つ∃f_βはU_β上のchart且つMap(f_β(U_α∩U_β),f_α(U_α∩U_β))∋f_αf_β^-1はC^α級」
で宜しいでしょうか?

> # C^\alpha 級位相とは普通言わない.

有難うございます。

> # C^\alpha 位相はまた別.
> 位相多様体が C^0 級多様体であるというのは理解できましたか.

はい、一応。