工繊大の塚本です.

In article <k0bsss$7ag$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/def_of_topological_manifold__01.jpg

 Home 等といった意味不明の略語の意味不明な使い方をしているものを
評価できません.

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/def_of_topological_manifold__02.jpg

 \phi_\lambda は U_\lambda から C^n の中への同相写像なので,
 biholomorphic という概念は適用できません.

 topological manifold は C^1 ではなく C^0-manifold である
ということは既に注意しました.

> なら大丈夫でしょうか?

細かい点で色々と間違っています.

> [定義ア]
> 「XをTを位相とする位相空間とし,Λを添数集合,
> Map(U_λ,C^n)をU_λ∈TからC^nへの写像の集合とし,
> {Map(U_λ,C^n);λ∈Λ}をその族とする時,
> 族{Map(U_λ,C^n);λ∈Λ}が空でない時,その族の元,即ち,
> Map(U_λ,C^n)がU_λからC^nへの同相写像の集合の部分集合となる時,
> この族の元をU_λ上のchartと呼ぶ」

 chart というのは X の開集合 U と R^n の開集合 V と
その U から V への同相写像 \phi の
組 (U, V, \phi: U \to V) のことです.
略して, 同相写像 \phi: U \to V のこと, とする方が未だまし.
「族」なんて何処にも出て来ません.

> [定義イ]
> 「XをTを位相とする位相空間とし,
> Λを添数集合,Map(U_λ,C^n)をU_λ∈TからC^nへの写像の集合とし,
> {Map(U_λ,C^n);λ∈Λ}をその族とする時,その族がX上のatlasであるとは,
> (i) 集合{U_λ;λ∈Λ}がXの開被覆である,
> (ii) 任意のλ∈Λに対して,U_λ上のchart f_λが存在する,
> ことであると定義する」

 atlas とは charts の集まりで, X の開被覆となるものです.

> [定義ウ]
> 「XをTを位相とする位相空間とし,Λを添数集合,
> Map(U_λ,C^n)をU_λ∈TからC^nへの写像の集合とし,
> {Map(U_λ,C^n);λ∈Λ}をその族とする時,
> Xが{Map(U_λ,C^n);λ∈Λ}に関してn次元位相多様体をなすとは,
> {Map(U_λ,C^n);λ∈Λ}がX上のatlasである事と定義する」

 Hausdorff 位相空間 X に atlas が存在するとき,
 X は位相多様体になります.
秕 枋蟲船\xA8]
> 「C^nを位相空間とし,U∈T(但し,TはC^nの通常の位相とする)とする時,
> UからC^nへの同相写像φがUのbiholomorphismであるとは,
> (i) φは全単射な正則関数,
> (ii) φ(U)はTの元,
> (iii) φ^-1も正則関数,
> である事と定義する」

> [定義オ]
> 「XをTを位相とするHausdorff空間とし,{U_λ}_{λ∈Λ}をXの開被覆とする時,
> Xは{U_λ}_{λ∈Λ}に関してn次元複素多様体をなすとは
> 任意のλ∈Λに対して,下記を満たすU_λからC^nへの関数φ_λが存在する事と定義する,
> 任意のλ,μ∈Λに対して,
> φ_μ(U_λ∩U_μ)からφ_λ(U_λ∩U_μ)への(合成)関数φ_λφ_μ^-1がbiholomorphicとなる。
> そして,集合{(U_λ,φ_λ)∈T×Corr(C^n,C^n);φ_λはbiholomorphic,λ∈Λ}
> (但し,Corr(C^n,C^n)はC^nからC^nへの対応の集合とする)
> をsystem of holomorphic coodinate neighbourhoodと呼ぶ事にしする。
> 特に1次元複素多様体はRiemann面と呼ばれる」

 X の atlas { \phi_\lambda: U_\lambda \to V_\lambda }_{\lambda \in \Lambda} で
任意の \lambda, \mu \in \Lambda で U_\lambda \cap U_\mu が空集合でない
ものに対し,

  \phi_\lambda \circ (\phi_\mu)^{-1}:
    \phi_\mu(U_\lambda \cap U_\mu) \to \phi_\lambda(U_\lambda \cap U_\mu)

が biholomorphic となるものが存在するとき,
 X は n 次元複素多様体となります.

> [定義カ]
> 「XをTを位相空間,n∈N,α∈[0,∞],Λを添数集合とし,
> Map(U_λ,C^n)をU_λ∈TからC^nへの写像の集合とし,
> {Map(U_λ,C^n);λ∈Λ}をその族とし,φ_λ,φ_μをその族の元とし,
> U_λ∩U_μは空でないとすると,
> φ_λ(U_λ∩U_μ)からφ_μ(U_λ∩U_μ)の(合成)写像φ_λφ_μ^-1は同相写像となる(要証明),
> この時,Xが族{Map(U_λ,C^n);λ∈Λ}に関してC^α級位相をなすとは,
> 任意のλ,μ∈Λに対して,φ_λφ_μ^-1はC^α級となる事と定義する。
> 特にXが族{Map(U_λ,C^n);λ∈Λ}に関して位相多様体をなすとは
> Xが族{Map(U_λ,C^n);λ∈Λ}に関してC^1級多様体をなす事と定義する」

ちゃんと chart, atlas, という言葉を使って,
 C^\alpha 級多様体が定義出来ますか.
# C^\alpha 級位相とは普通言わない.
# C^\alpha 位相はまた別.
位相多様体が C^0 級多様体であるというのは理解できましたか.
 
> で如何でしょうか? 
 
定義が細かいところで間違っているというのは
全然間違っているということです.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp