工繊大の塚本です.

位相多様体やら C^\infty 多様体を定義するのに
用いるなら R^n の開集合との同相写像から
 chart の定義は始めるものでしょう.

In article <k4v4tv$kq6$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> C^nでは定義できないのでしょうか?

 C^n は R^{2n} と同一視すれば良い.

> あと,
> [定義キ]　(X,T)を位相空間とする時,∀(f,D)∈Home(X,R^n)×Tに対して,
> Home(D,f(D))∋φが一意的に存在する(∵要証)。
> この時,このφをDからf(D)へのchartと呼ぶ」
> という定義でも大丈夫でしょうか?

おや, 貴方は

> Home(X,Y)でXからYへのhomeomorphism全体の集合を意味してました。

としたのですから, "(f, D) \in Home(X, R^n) \times T" とすると,
 f は X と R^n との間の位相同相を与えることになります.
今, R^n とは位相的にも全く違ったもの X を多様体として考えようと
しているのですから, そんな f は普通存在しません.

無論, それでは chart の定義として意味を為しません.

 [定義イ] について,

> これで一応は間違いではないのですよね。

とんでもない.

> In article <120823200432.M0116151@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > atlas とは charts の集まりで,
> > X の開被覆となるものです.

ということと, 貴方の定義とは全く違います.
 
> chartはようは写像なので,結局はatlasは写像の集まりなのですね。

 X の開集合と R^n の開集合との同相写像が chart です.
 altas は chart の集まりです.
写像にはその定義域と値域とが結びついていて,
更に, 同相写像であるものを考えている, ということを
省いてはいけません.

> Hausdorff空間である事が必須なのですね。
> "n次元位相多様体"と呼んでもいいのですね。

はい.
 
 [定義エ] について,
 
> この定義はOKですね。

普通, C^n の開集合 U と C^n との biholomorphism ではなく,
 C^n の開集合 U, V の間の biholomorphism を定義しておく
ものでしょう.

> つまり,n次元複素多様体とは
> 「X の atlas { \phi_\lambda: U_\lambda \to V_\lambda }_{\lambda \in \Lambda} 
> \xE3^A\xA7
> 任意の \lambda, \mu \in \Lambda で U_\lambda \cap U_\mu が空集合でない
> ものに対し,
> \phi_\lambda \circ (\phi_\mu)^{-1}:
> \phi_\mu(U_\lambda \cap U_\mu) \to \phi_\lambda(U_\lambda \cap U_\mu)
> が biholomorphic となるものが存在するとき,」
> なるatlasから成るn次元位相多様体の事であるとも言えるのですね。

 biholomorphism は homeomorphism でもあるので,
(この定義での)複素多様体であれば位相多様体にもなっています.

> [定義カ]
> 「XをTを位相空間,n∈N,α∈[0,∞],Λを添数集合とし,
> Map(U_λ,C^n)をU_λ∈TからC^nへの写像の集合とし,
> この時,Xが族{Map(U_λ,C^n);λ∈Λ}に関してC^α級多様体をなすとは,

「族 { Map(U_\lambda, C^n) ; \lambda \in \Lambda } に関して」
 C^\alpha (級)多様体, という言い方はありません.

> {U_λ;λ∈Λ}と(f_λ)_{λ∈Λ}からなり下記を満たすatlas 
> {Map(U_λ,C^n);λ∈Λ}が存在する事を言う。

 altas は charts の集まりでないといけません.

> 任意の(U_α,U_β)∈{(U_α,U_β)∈{U_λ∈T;λ∈Λ}^2;U_α∩U_β≠φ}に対して,
> ∃f_αはU_α上のchart且つ∃f_βはU_β上のchart
> 且つMap(f_β(U_α∩U_β),f_α(U_α∩U_β))∋f_αf_β^-1はC^α級」
> で宜しいでしょうか?

駄目です.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp