On 12 May 2004 14:11:29 -0700
eurms@apionet.or.jp (M_SHIRAISHI) wrote:

M>   Y.N.氏は知らないようだけど、Cauchy の流儀では f'(x) は 
M> lim{△x→0}〔{f(x＋△x}−f(x)}／△x〕として、また、
M> f''(x) は lim{△x→0}〔{f'(x＋△x}−f'(x)}／△x〕として、
M> それぞれ、一階の微分(differential) dy，二階の微分 d^2y に
M> 「先立って」、極限(limit)の概念を使って定義されてしまって
M> いるわけです。 
M> 
M> そうしておいて、dy を dy：＝f'(x)・△x と定義するわけなの
M> だけど、dy＝f'(x)dx のほうは、曲がりなりにも、導けるものの、
M> d^2y＝f''(x)(dx)^2 を始めとした、高階の微分に関しての
M> *望ましい等式*のほうは、N_Bourbaki も認めている様に、全く
M> 導くことができないのです。
M> 
M> その理由は、dy：＝f'(x)・△x が、*本来の --- 無限小の意味
M> の --- 微分* から逸脱した、“アホな定義”だからです。

つまり，「Cauchy の流儀」は“アホな定義”で，
M_SHIRAISHI さんは「わざと」それを用いて，

(x_1−x)'＝1 よって

d^2y＝f''(x)dx^2−f'(x)dx

と繰り返しおっしゃっている。
たぶんいかに"アホ"かを示すために。

で，その「流儀」では高階微分が定義できないので解析概論 p.36で高木は「今
一度 Δy/Δx から出直し」ていて，そこにも「dy：＝f'(x)・△x」と書かれて
いる。ところが，それに従えば高階微分を定義できてしまう。
高階微分が定義できなかったのは「dy：＝f'(x)・△x」のせいでも極限のせいで
もなくその「流儀」のせいということじゃないでしょうか？