ご回答誠に有難うございます。

>> あっこの命題の意図がわかりました。
> 分かったようには見受けられませんが.

そうですか。すみません。

>> ζ_{a(modN)}(s), ζ(s,1), Σ_{a=1}^{N-1}ζ_{a(modN)}(s)が夫々
>> ζ(s),ζ(s), Σ_{n=0}^∞χ(n)/n^sの被解析接続関数になっている
>> という事を確かめさせる事だったのですね。
> \sum_{n=1}^\infty 1/n^s  (Re(s) > 1)

ここでのΣ_{n=1}^∞1/n^sが
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/analytic_continuation.jpg
でのf(s)に相当し,

> を解析接続して
> \zeta(s)  (s \neq 1) が得られ,

このζ(s)はg(s)に相当するのですよね。解析接続の仕方ってどのようにするのでしょうか?

> \sum_{n=0}^\infty 1/(a + n)^s  (Re(s) > 1) を解析接続して
> \zeta(s, a)  (s \neq 1) が得られ,
> \zeta(s) = \zeta(s, 1) である.
>
> \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s  (Re(s) > 1) を解析接続して
> L(s, \chi) が得られ,
> \sum_{n=0}^\infty 1/(a + n N)^s  (Re(s) > 1) を解析接続して
> \zeta_{\equiv a (N)}(s) が得られ,
> s \neq 1 では
> L(s, \chi) = \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a) \zeta_{\equiv a (N)}(s)
> である.

解析接続してg(s)なる関数を見つけ出す手順はどのようになっているのでしょうか?
どんな関数も解析接続できるものなのでしょうか?
一つの関数f(s)の解析接続の仕方って何通りもある場合もあるのでしょうか?
どんな関数も解析接続すれば必ず表示式を拡張できるものなのでしょぅか?

つまり,関数f(s)を解析接続する為に必要な関数g(s)はどうやって見つければいいのでしょうか?

これらが私がいまいち解析接続に対して混乱している事柄でございます。