工繊大の塚本です.

In article <c3a706e8-4c28-4f4b-980c-e6c936c80a4f@32g2000vbe.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> ここでのΣ_{n=1}^∞1/n^sが
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/analytic_continuation.jpg
> でのf(s)に相当し,
 
> このζ(s)はg(s)に相当するのですよね。

混乱していますね.

領域 D' を含む領域 D があって,
 f が D' 上の正則関数であり,
 g が D 上の正則関数であり,
 g を D' 上に制限したものが f と一致している時,
 g は D' 上の正則関数 f を D に解析接続したものである,
ということです.

その図では f が D を含む A 上で定義されていることになっていて,
 g が D' を含む B 上で定義されていることになっているのは
逆です.

又, g = f|_{D'} も逆で, f = g|_{D'} でないといけません.

それはサテオキ,

 f(s) が \sum_{n=1}^\infty 1/n^s であり,
 g(s) が \zeta(s) であるのは結構です.

> 解析接続の仕方ってどのようにするのでしょうか?

だから狭いところ Re(s) > 1では \sum_{n=1}^\infty 1/n^s に
一致していて, より広いところで正則関数であることが分かる
表示を見つけて来るわけです.

> 解析接続してg(s)なる関数を見つけ出す手順はどのようになっているのでしょうか?
> どんな関数も解析接続できるものなのでしょうか?

正則関数でなければ意味がないです.

> 一つの関数f(s)の解析接続の仕方って何通りもある場合もあるのでしょうか?

勿論, 見かけ上の違いが有ったり, 多価のものが出て来たりも
しますが, 一致の定理により, 一意的です.

> どんな関数も解析接続すれば必ず表示式を拡張できるものなのでしょぅか?

自然境界が有って, ある範囲の外には解析接続できない
場合も, 勿論, 有ります.

> つまり,関数f(s)を解析接続する為に必要な関数g(s)は
> どうやって見つければいいのでしょうか?

上手く見つけないといけません. まあ, 収束半径の端の方で
もう一度ベキ級数に展開して, その収束半径の内側まで広げる,
という操作を繰り返すのが解析接続である, と説明されるの
ですが, 実際には良い表示を何らかの形で見つけないと
全体像は中々見えてこないわけです.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp