ご回答誠に有難うございます。

> この二つの話,
> は共に, \zeta_{a \mod N}(s) についての間違った理解によるものです.

うっ。そうでしたか。申し訳ありませんでした。

> 1 \leq a \leq N の自然数 a について,
> \zeta_{a \mod N}(s) とは, Re(s) > 1 において,
…
> ということです. もう一度お考え下さい.

ありがとうございます。
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop201_3__02.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop201_4__02.jpg
と一応最後まで行けたのですが
(3)の上から3行目の分配法則はζ_{amodN}(s)が絶対収束しないと使用できませんよね。今,s∈Cなのでs=1とかならζ_{amodN}
(s)(=Σ_{n∈amodN∩(N＼{0})}1/n^s)が絶対収束しませんよね。
このような場合はどうれすればいいのでしょうか?

(4)でも同様でΣ_{n=1}^∞ 1/(a+N)^sが絶対収束する事はどうすれば分かりますでしょうか?