ご回答大変有難うございます。

>> Abelian groupの基本定理については 有限生成の定義
>> 「A:=∩_{H∈{H≦G;S⊂H}}HとするとA=<S>となる。

"となる"ではなく"と定義する"でしたね。

> <S> を S の生成する G の部分群, つまり S を含む
> G の部分群の中で最小のもの, つまり
> <S> = ∩_{H は G の部分群, S ⊂ H} H

ありがとうございます。分かり易いです。

> とするとき, G = <S> となる有限集合 S ⊂ G が
> 存在すれば, G は有限生成であるといいます.

納得です。

>> この時,このSを有限群Gの生成系と呼ぶ。
> 生成系は G が有限群でなくても定義されますね.
> Abelian group の基本定理は, 有限生成であれば,
> 無限 Abelian group も含んだ話です.

なるほど。

>> 定理が「Gが有限生成ならG=F_1(+)F_2(+)…(+)F_r(+)I_1(+)I_2(+)…(+)I_s
>> (但し,F_1,F_2,…,F_rは有限巡回群, I_1,I_2,…,I_sは無限巡回群,
>> #F_1|#F_2|…|#F_r…(*)) と一意的に表され
>> る」
> G が有限群であれば, 当然 I_1, I_2, ... , I_s は
> 現れません.

そうですね。

>  一方, #F_t = p_1^{n_{t,1}} p_2^{n_{t,2}} … p_N^{n_{t,N}}
> と素因数分解しておくと,
>  F_t = Z_{p_1^{n_{t,1}}} (+) Z_{p_2^{n_{t,2}}} (+) …
>        (+) Z_{p_N^{n_{t,N}}}
> と書き表すことが出来ます. #F_1 | #F_2 | … | #F_r とは
> (0 ≦) n_{1,k} ≦ n_{2,k} ≦ … ≦ n_{r,k}  (1 ≦ k ≦ N)
> を意味します. p_1 = 2 だけを取り出して書くと,

なるほど。各素数べきに対して順々に割れないといけないのでこのように言えますね。
因みにNは大きくなっていく場合も有り得ますね。#F_1|#F_2|…|#F_Nでより右側のF_kが左側より,より多くの素因数を持っているかもし
れないですからね。

>  G = Z_{2^{n_1}} (+) Z_{2^{n_2}} (+) … (+) Z_{2^{n_r}}
>      (+) (奇数次の巡回群の直和)

 Z_{2^{n_r}}以降は奇素数べき位数の巡回群の直和ですね。

> となります. 但し, n_t = 0 なら Z_{2^{n_t}} = Z_1 = { 0 }
> ですから, それらは省いたと考えておきましょう. つまり,
> 1 ≦ n_1 ≦ n_2 ≦ … ≦ n_r であるとします.

直和分解の因子には{0}が現れる事も有り得るのですね。

>> ですから もし,1≦∃k≦m;2|#F_kならm':={k∈{1,2,…,m};2|#F_k}とすると,
>> G={e}(+){e}(+)…(+){e}(+)F__m'(+)F_{m'+1}(+)…(+)F_mと書ける
>> (∵定理の条件(*)を満たさねばならないので)。
>  (以下略)
> なんだか論証になっていませんね. (G ではなくて)

すいません。

> G_2 がどうして Z_2 の直和になるのか, Abelian group
> の基本定理から導かれる G の構造から, 論理的に
> 議論して下さい.

Gは有限位数のアーベル群と言ってあるのだから,Gは有限生成のアーベル群。
よって,G=F_1(+)F_2(+)…(+)F_r(+) (但し,F_1,F_2,…,F_rは有限巡回群)と一意的に表せ,
#F_t=p_1^{n_{t,1}}p_2^{n_{t,2}}…p_N^{n_{t,N}}とすると
p_k^{n_{1,k}}|p_k^{n_{2,k}}|…|p_k^{n_{r,k}} (但し,1≦k≦N)
となっている。
#F_k=p_1^{n_{k,1}}p_2^{n_{k,2}}…p_N^{n_{k,N}}}(但し,1≦k≦r)において
もし,2∈{p_1,p_2,…,p_N}となる最小のkが在った(つまり,F_1,F_2,…,F_kで2を素因数として持つものがあった)とする
と
G_2={(0,0,…,0),(0,0,…,0,1,0,…,0),(0,0,…,0,0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1,1,…,
1)}と書けるので
G_2は2(r-k+1)+1個の元を持ち,この時,G_2〜(Z_2)^kとなる。よってr=k.
もし,,2∈{p_1,p_2,…,p_N}となる最小のkが無い場合(#F_1,#F_2,…,#F_rは全て奇素数因子のみ)は
G_2={(0,0,…,0)}なので{0}=(Z_2)^0。 よってr=0.

という説明的な証明法しかできません。すいません。

> # 「座標」を取って議論するのが分かり易いでしょう.

どのようにするのでしょうか?