工繊大の塚本です.

In article <8267599d-75fe-4c23-be9c-57c99eac03be@c9g2000yqm.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> Abelian groupの基本定理については
> 有限生成の定義「A:=∩_{H∈{H≦G;S⊂H}}HとするとA=<S>となる。

 <S> を S の生成する G の部分群, つまり S を含む
 G の部分群の中で最小のもの, つまり

 <S> = ∩_{H は G の部分群, S ⊂ H} H

とするとき, G = <S> となる有限集合 S ⊂ G が
存在すれば, G は有限生成であるといいます.

> この時,このSを有限群Gの生成系と呼ぶ。

生成系は G が有限群でなくても定義されますね.
 Abelian group の基本定理は, 有限生成であれば,
無限 Abelian group も含んだ話です.

> |S|<∞の時,Gは
> 有限生成と言われ,SはGの生成系と言われる」

一応良いですね.

> 定理が「Gが有限生成ならG=F_1(+)F_2(+)…(+)F_r(+)I_1(+)I_2(+)…(+)I_s
> (但し,F_1,F_2,…,F_rは有限巡回群, I_1,I_2,…,I_sは無限巡回群,
> #F_1|#F_2|…|#F_r…(*))
> と一意的に表される」

 G が有限群であれば, 当然 I_1, I_2, ... , I_s は
現れません. 一方, #F_t = p_1^{n_{t,1}} p_2^{n_{t,2}} … p_N^{n_{t,N}}
と素因数分解しておくと,

  F_t = Z_{p_1^{n_{t,1}}} (+) Z_{p_2^{n_{t,2}}} (+) …
        (+) Z_{p_N^{n_{t,N}}}

と書き表すことが出来ます. #F_1 | #F_2 | … | #F_r とは
 (0 ≦) n_{1,k} ≦ n_{2,k} ≦ … ≦ n_{r,k}  (1 ≦ k ≦ N)
を意味します. p_1 = 2 だけを取り出して書くと,

  G = Z_{2^{n_1}} (+) Z_{2^{n_2}} (+) … (+) Z_{2^{n_r}}
      (+) (奇数次の巡回群の直和)

となります. 但し, n_t = 0 なら Z_{2^{n_t}} = Z_1 = { 0 }
ですから, それらは省いたと考えておきましょう. つまり,
 1 ≦ n_1 ≦ n_2 ≦ … ≦ n_r であるとします.

> ですから
> もし,1≦∃k≦m;2|#F_kならm':={k∈{1,2,…,m};2|#F_k}とすると,
> G={e}(+){e}(+)…(+){e}(+)F__m'(+)F_{m'+1}(+)…(+)F_mと書ける
> (∵定理の条件(*)を満たさねばならないので)。
  (以下略)

なんだか論証になっていませんね. (G ではなくて)
 G_2 がどうして Z_2 の直和になるのか, Abelian group
の基本定理から導かれる G の構造から, 論理的に
議論して下さい.

# 「座標」を取って議論するのが分かり易いでしょう.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp