ご回答大変ありがとうございます。

>> #G=3の時はGは巡回群でG_2={0mod3}でr=0,
：
>> となっていくのですね。
> そういう個別の例を挙げるだけでは証明にはなりません.

そうですよね。これは失礼いたしました。

>> 上記の議論から,2|#Gでない時(#Gは2を約数に持たない時)は,G_2={0},即ちr=0で,
>> ∃n∈N;2^n|#Gの時は,G_2=(Z_2)^r,即ちr=1or r=2 or,…,or r=n
>> が挙げられるのですね。
> それを, 例えば Abelian group の基本定理を用いたりして,
> 「証明」せよ, というのが問題です.

ちょっと難しいですががんばってみました。

Abelian groupの基本定理については
有限生成の定義「A:=∩_{H∈{H≦G;S⊂H}}HとするとA=<S>となる。 この時,このSを有限群Gの生成系と呼ぶ。|S|<∞の時,G
は
有限生成と言われ,SはGの生成系と言われる」
定理が「Gが有限生成ならG=F_1(+)F_2(+)…(+)F_r(+)I_1(+)I_2(+)…(+)I_s
(但し,F_1,F_2,…,F_rは有限巡回群, I_1,I_2,…,I_sは無限巡回群,#F_1|#F_2|…|#F_r…(*))
と一意的に表される」

ですから
もし,1≦∃k≦m;2|#F_kならm':={k∈{1,2,…,m};2|#F_k}とすると,
G={e}(+){e}(+)…(+){e}(+)F__m'(+)F_{m'+1}(+)…(+)F_mと書ける
(∵定理の条件(*)を満たさねばならないので)。
この時,Z_2≦F_m',Z_2≦F_{m'+1},…,Z_2≦F_m。よってr:=m-m'+1と採れる。
一方
もし,「1≦∃k≦m;2|#F_kならm':={k∈{1,2,…,m};2|#F_k}」でないなら,
1≦∀k≦mに対して;2|#F_kでない
G=F_1(+)F_2(+)…(+)F_rと書け,
この時,Z_2≦F_m'ではない,Z_2≦F_{m'+1}ではない,…,Z_2≦F_mではない。
よって0≠∀g∈Gに対し,g+g≠0
よってr:=0と採れる。

としてみたのですがこれでもいいのでしょうか?