ご回答大変ありがとうございます。

>> Gは
> 「 G_2 は」ですか? (以下も全て.)

すいません。この時,Gが(Z_2)^rに同型と読み取ってましたので「Gが…」と書いてしまいました。
Gの部分群G_2が(Z_2)^rに同型となるような非負整数rが存在するが正して解釈でしたね。

>> Zに同型(r=0の時)か
> r = 0 なら (Z_2)^r は { 0 } と考えるものです.

そうでしたか。了解いたしました。

>> GはZ_2に同型(r=1の時)か GはZ_2(+)Z_2に同型(r=2の時)か GはZ_2(+)Z_2(+)Z_2に同型(r=3の時)なのですよね。
> いや r = 3 で終わるわけではありませんが.

そうですね。


>> 再度確認してみましたが問題文は (1) G_2 is a subgroup of G which is
>> isomorphic to (Z_2^r,+),for some r≧0. となっています。 G_2ではなくGの方がが(Z_2)^rと同型と読み取れますが。
> 普通 which の先行詞は, G ではなく, a subgroup (of G) であると
> 読むものでしょう.

そうですよね。通常,直前語を先行詞としてとるのでしたね。

>> ,,,,という事は仰るとおり,G_2〜(Z_2)^rなるrを求めよ (1) G_2 is a subgroup
>> of G ,which is isomorphic to (Z_2^r,+),for some r≧0. いう問題(カンマが抜けてる?)なのですね。
> カンマがあろうとなかろうとそうです.

これもそうでした。

>> そうしますと,Gは有限アーベル群というのだから #G=p_1^r_1p_2^r_2・…・p_n^r_n
>> (但し,p_1,p_2,…,p_nは相異なる素数)とすると もし,{p_1,p_2,…,p_n}の中に2があれば2を約数とするGの部分群が
>> 存在するから, その時G_2〜Z_2でr=1とrが採れる。
> #G = p_1^{r_1} p_2^{r_2} … p_n^{r_n} であるからといって,
> G = Z_{p_1^{r_1}} (+) Z_{p_2^{r_2}} (+) … (+) Z_{p_n^{r_n}}
> となるわけではありません.

そうでした。そうなる可能性がただあるというだけでした。

> #G = 4 の時は, G = Z_4 の場合も, G = Z_2 (+) Z_2 の場合も
> あります. 前者であれば G_2 = Z_2 であり,

そうでしたね。G≧G_2=(Z_2)^rなるにはr=1しかありませんね。

> 後者であれば
> G_2 = Z_2 (+) Z_2 であることは既に注意しました.

これもそうでした。どうもありがとうございます。

>> もし,{p_1,p_2,…,p_n}の中に2が無いとすると Gの部分群としてZ_2やZ_2(+)Z_2やZ_2(+)Z_2(+)Z_2
>> が採れないから(∵Lagrangeの定理), r=0つまり,G_2は{0}と同型しか有り得ない。
> こちらはそうです.

了解いたしました。ここで自然とr=0の時は(Z_2)^r={0}としてしまってますね。

>> もし,{p_1,p_2,…,p_n}の中に2があれば Σ_{x∈G}
>> x=0+1+2+…+(#G/2-1)+#G/2+(#G/2+1)+…+(#G-2)+(#G-1)=#G/2 一方,Σ_{y∈G_2}y=0+5=5
>> だから #G=2・5なら前者は5(=10/2=#G/2),後者も5で上手くいっています。
> これは #G = 10 の時だけ成立している話ですね.
> 一般に G は巡回群ではないかも知れませんから,

そうですね。たとえアーベル群でも合成数位数な限り,非巡回群の可能性も有り得ますね。

> この議論では不十分です.

#G=3の時はGは巡回群でG_2={0mod3}でr=0,
#G=5の時はGは巡回群でG_2={0mod5}でr=0,
#G=6の時はGは巡回群で(∵G=Z_6=Z_2×Z_3)G_2={0mod6,3mod6}=Z_2でr=1,
#G=7の時はGは巡回群でG_2={0mod7}でr=0,
#G=8の時はG=Z_8,G=Z_4×Z_2,G=Z_2×Z_2×Z_2があり,G=Z_8の時,G_2={0mod8,4mod}=Z_2で
r=1,
G=Z_4×Z_2の時,G_2={(0mod4,0mod2),(0mod4,1mod2),(2mod4,0mod2),
(2mod4,1mod2)}=Z_2×Z_2でr=2,
G=Z_2×Z_2×Z_2の時,G_2=Z_2×Z_2×Z_2でr=3.
#G=9の時はG=Z_9,G=Z_3×Z_3があり,G=Z_9の時,G_2={0mod9}でr=0,
G=Z_3×Z_3の時も,G_2={(0mod3,0mod3)}={0mod9}でr=0.
#G=10の時はG=Z_10=Z_2×Z_5で(∵gcd(2,5)=1),G_2={(0mod10,0mod5),(1mod2,0mod5)}
=Z_2でr=1.
#G=11の時はGは巡回群でG_2={0mod11}でr=0,
#G=12の時はG=Z_4×Z_3,G=Z_2×Z_2×Z_3があり,G=Z_4×Z_3の時,G_2={(0mod4,0mod3),
(2mod4,0mod3)}=Z_2でr=1,
G=Z_2×Z_2×Z_3の時,G_2={(0mod2,0mod2,0mod3),(0mod2,1mod1,0mod3),
(1mod2,0mod2,0mod3),(1mod2,1mod2,0mod3)}=Z_2×Z_2でr=2,
：
となっていくのですね。

>> もし,{p_1,p_2,…,p_n}の中に2が無いなら, Σ_{x∈G}
>> x=0+1+2+…+#G/2+(#G-1)/2+…+(#G-2)+(#G-1)=0で 一方,G_2〜{0}なので,
>> Σ_{y∈G_2}y=0でこの場合は上手くいっています。
> これも G が巡回群のときにしか成立しない議論ですね.

上記の議論から,2|#Gでない時(#Gは2を約数に持たない時)は,G_2={0},即ちr=0で,
∃n∈N;2^n|#Gの時は,G_2=(Z_2)^r,即ちr=1or r=2 or,…,or r=nが挙げられるのですね。