工繊大の塚本です.

# 今一度注意しておきますが, 表題は
# Subject: Re: Γ関数は{s∈C;Re(s)>0}で正則である事を示せ
# が正しい.

In article <4c3da74e-2451-458b-ab03-b2e500a9b36a@g3g2000vbl.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> そうですね。ここまでは
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol35.jpg
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol36.jpg
> の通り辿り着けました。

最後の一つ前の式

  \leq
  \lim_{h \to 0} |h| (\int_0^1 (-\log x)^2 x^{Re(s)-|h|-1} dx
                      + \int_1^\infty (\log x)^2 x^{Re(s)+|h|-1} \exp(-x) dx)

から最後の式への変形はおかしいし, そう変形する必要もないでしょう.
先にも述べているように,
 
> In article <110509015824.M0105390@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> >  \int_0^1 (- \log x)^2 x^{Re(s)-|h|-1} dx
> > \xE3^A\xA8
> >  \int_1^\infty (\log x)^2 x^{Re(s)+|h|-1} \exp(-x) dx
> > が(十分に小さな |h| に対して)有界であることを言えば良い.
> 
> これも納得です。
> 0<∃h∈C;

#  h は複素数ですから, 0 < h は意味がありません.
# ある正の実数 H があって, |h| < H であれば,
# 二つの積分がともに有界であることをいう.

> ∫_0^1 (- \log x)^2 x^{Re(s)-|h|-1} dxが有界,
> ∫_1^\infty (\log x)^2 x^{Re(s)+|h|-1} \exp(-x) dxも有界
> が示せれば
> lim_{h→0}(∫_0^1 (- \log x)^2 x^{Re(s)-|h|-1} dx+∫_1^\infty (\log x)^2
> x^{Re(s)+|h|-1} \exp(-x) dx)=0
> と確かになり証明終了ですよね。

ということです.
 
> ところでどのようにして
> 0<∃δ∈R; ∀h∈{h∈C;0<|h|<δ},
> ∫_0^1 (- \log x)^2 x^{Re(s)-|h|-1} dxが有界,
> ∫_1^\infty (\log x)^2 x^{Re(s)+|h|-1} \exp(-x) dxも有界
> が示せますでしょうか?

 0 < m < M となる実数 m, M を任意に取る時,
領域 { s \in C ; Re(s) > 0 } に含まれる
閉領域 { s \in C ; 0 < m \leq Re(s) \leq M } において,
 |h| が十分に小であれば, それぞれの積分が有界であることを
示します. 例えば, |h| \leq m/2 であれば,
 -1 < m/2 - 1 \leq Re(s) - |h| - 1 ですから,

  \int_0^1 (-\log x)^2 x^{Re(s)-|h|-1} dx
  \leq \int_0^1 (-\log x)^2 x^{m/2 - 1} dx

となります. この積分は計算できるでしょう. 又, 

  \int_1^\infty (\log x)^2 x^{Re(s)+|h|-1} \exp(-x) dx
  \leq \int_1^\infty x^{M + m/2 + 1} \exp(-x) dx

の最後の積分が有限値であることも分かるでしょう.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp