工繊大の塚本です.

In article <67ef746d-4563-4c78-a6f2-2fa530835d1e@k10g2000prh.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> これは自明ではありませんでしたね。
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol14.jpg
> とすればいいのですね。

きちんと示すには数学的帰納法を使うことになるでしょう.

> In article <110228193654.M0131113@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > 私の示した式は
> >  |(x^h - 1)/h - \log x| \leq |h| |\log x|^2 e^{|h||\log x|}
> > であって,
> >  |(x^h - 1)/h - \log x| \leq |h| |log x|^2 x^{|h|}
> > ではありません. その直ぐ後に,
> >  0 < x < 1 では |\log x| = - \log x だから,
> >  |(x^h - 1)/h - \log x| \leq |h| (- \log x)^2 x^{-|h|}
> > だと書いてあったでしょうに.
> 
> すいません。ちょっと混乱してます。

確かに.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol15.jpg
> でいいのでしょうか?

貴方は二行目で

 |h||\log x|^2 \exp(|h||\log x|) = f(x)

としています. 一方, 表の中では f(x) は

 f(x) = |h||\log x|^2 \exp(|h||\log x|) - (x^h - 1)/h

のこととしているようです. しかし, 今知りたいのは,

 |(x^h - 1)/h - \log x| \leq |h||\log x|^2 \exp(|h||\log x|) 

が成立するかどうかではありませんでしたか.
増減表を使って示したいなら,

 f(x) = |h||\log x|^2 \exp(|h||\log x|)  - |(x^h - 1)/h - \log x|

とでもするのでしょうね. 但し, h は複素変数ですから,
それはそんなに易しくないでしょう.

ところで, 言いましたように, h は複素変数ですから,
 h が正であるとか負であるとかには意味がありませんし, 又,

 |h||\log x|^2 \exp(|h||\log x|) - (x^h - 1)/h

が正であるとか負であるとかにも意味がありません. 又,
 0 < x < 1 においては,

 |h||\log x|^2 \exp(|h||\log x|) - (x^h - 1)/h
  = |h|(- \log x)^2 x^{-|h|} - (x^h - 1)/h

ですが, その x についての微分は

 - (x^h - 1)/h + \log x

にはなりません. 表は一体何の表なのでしょう.

> やはり不等号が成り立たない場合が生じてしまいますが、、、

それは貴方の間違いです.
 
> これはArchimedean principleから言えるのですね。

どのように言うのですか.
 
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol16.jpg
> とすれば不等号が成立しますよね?

不等式は成立しますが, 積分の収束は証明できなくなります.
 \int_0^1 x^{-1/2} dx は収束しますが,
 \int_0^1 x^{-1} dx は収束しません.
既に述べたように, x \to 1 のところではなく,
 x \to 0 の方が問題なのです.

> >  a + Re(s) - |h| - 1 を整数に置き換えてはいけません.
> 
> えっ? どうしてですが整数に置き換えないと
> |h|∫_0^1x^M exp(-x)dx+∫_1^∞ x^N exp(-x)dxが収束する事が
> 示せないではありませんか?

貴方には \int_0^1 x^{-1/2} dx が収束することが
証明できないのですか.
 
> 1に置き換えてもいいとはどういう意味でしょうか?

 0 < x < 1 では 0 < 1/e < \exp(-x) < 1 ですから,
 \exp(-x) を 1 に置き換えたものの積分の収束が言えれば
十分です.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp