工繊大の塚本です.

In article <1bffca13-99ad-4508-9e16-3c3721c7193e@o30g2000pra.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <110214030847.M0110385@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> >  \leq \int_1^\infty x^N e^{-x} dx
> > となります. これが広義積分として収束することを示せば良い.
> > 出来ますか?
> 
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol03.JPG
> で宜しいでしょうか?

その遣り方では, lim_{c \to \infty} c^N/e^c = 0 も示さないといけないし,
数学的帰納法も必要でしょうけれども, 悪いとは言いません.

> > |\int_0^\infty (log x) x^{s-1} e^{-x} dx|
> >  \leq \int_0^1 |(log x) x^{s-1} e^{-x}| dx
> 
> ここの不等号はどうして成り立つのでしょうか?

 |\int_1^\infty (\log x) x^{s-1} e^{-x} dx|
  \leq \int_1^\infty |(\log x) x^{s-1} e^{-x}| dx

の方には疑問を持たないのに, こちらには疑問を持つのですか.

> > さて, h を十分に 0 に近い複素数とするとき,
> > (\Gamma(s + h) - \Gamma(s))/h
> >  - \int_0^\infty (\log x) x^{s-1} e^{-x} dx
> >  = (1/h) (\int_0^\infty x^{s+h-1} e^{-x} dx
> >            - \int_0^\infty x^{s-1} e^{-x} dx)
> >     - \int_0^\infty (\log x) x^{s-1} e^{-x} dx
> >  = \int_0^\infty ((x^h - 1)/h - \log x) x^{s-1} e^{-x} dx
> 
> 最後のはどのようにして変形されたのでしょうか?

 (1/h) (\int_0^\infty x^{s+h-1} e^{-x} dx
        - \int_0^\infty x^{s-1} e^{-x} dx)
  - \int_0^\infty (\log x) x^{s-1} e^{-x} dx
  = \int_0^\infty (1/h) x^{s+h-1} e^{-x} dx
    - \int_0^\infty (1/h) x^{s-1} e^{-x} dx
    - \int_0^\infty (\log x) x^{s-1} e^{-x} dx
  = \int_0^\infty ((1/h) x^{s+h-1} - (1/h) x^{s-1}
                    - (\log x) x^{s-1}) e^{-x} dx
  = \int_0^\infty ((1/h) x^h - (1/h) - \log x) x^{s-1} e^{-x} dx
  = \int_0^\infty ((x^h - 1)/h - \log x) x^{s-1} e^{-x} dx
 
> > 多分, 分かりやすいのは,
> > |(x^h - 1)/h - \log x|
> >  \leq \sum_{k=2}^\infty |h|^{k-1} |\log x|^k/k!
> >  \leq |h| |\log x|^2 \sum_{n=0}^\infty (|h||\log x|)^n/n!
> >        = |h| |\log x|^2 e^{|h||\log x|}
> 
> 最後の不等式はどうして成り立つのでしょうか?

 k \geq 2 のとき, 1/k! \leq 1/(k-2)! ですから.

> hやxの大きさによっては逆に小さくなるかも知れませんよね?

ありえません.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol07.jpg
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol08.jpg
> となったのですが
> 「≦|h||ln(x)|^2Σ_{n=0}^∞(|h||ln(x)|)^n/n!」と

 k-2 = n と置いて書き換えるだけ.

貴方の記述のその後で, \exp(|h| \ln x) と絶対値を取り払っているのは
大きな間違いです. \exp(|h| |\log x|) でないといけない.

 0 < x < 1 では \log x < 0 ですから,

 \exp(|h| |\log x|)
  = \exp(- |h| \log x) = (\exp(\log x))^{-|h|}
  = x^{-|h|}

となります. 従って,

 |(x^h - 1)/h - \log x| \leq |h|(- \log x)^2 x^{-|h|}

一方, 1 < x では

 |(x^h - 1)/h - \log x| \leq |h|(\log x)^2 x^{|h|}

> 「≦|h|∫_0^1(-ln(x))^2 x^{Re(s)-|h|-1 exp(-x)dx + ∫_1^∞(-ln(x))^2
> x^{Re(s)+|h|-1 exp(-x)dx」の箇所の変形は
> どうしてできるのでしょうか?

後ろも (- \ln x)^2 になっているのは何故でしょう.
まあ, 御自身で分かり難くしているだけで,
悪いとは言いませんが.

 \int_0^\infty |(x^h - 1)/h - \log x| x^{Re(s)-1} e^{-x} dx
  = \int_0^1 |(x^h - 1)/h - \log x| x^{Re(s)-1} e^{-x} dx
     + \int_1^\infty |(x^h - 1)/h - \log x| x^{Re(s)-1} e^{-x} dx
  \leq \int_0^1 |h|(- \log x)^2 x^{-|h|} x^{Re(s)-1} e^{-x} dx
        + \int_1^\infty |h|(\log x)^2 x^{|h|} x^{Re(s)-1} e^{-x} dx
  \leq |h| (\int_0^1 (- \log x)^2 x^{Re(s)-|h|-1} e^{-x} dx
            + \int_1^\infty (\log x)^2 x^{Re(s)+|h|-1} e^{-x} dx)

> > 広義積分の収束を示せますか?
> 
> どのようにして収束が示せるのでしょうか?

 \int_1^\infty の方は \log x < x を使えば十分ですね.
 \int_0^1 の方は, どんな正の数 a についても,
十分大きな正の数 A に対しては,
 0 < x < 1 において - log x \leq A x^{-a} となる
ことを用いれば良い.

# 少しは考えないと頭が退化します.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp