工繊大の塚本です.

In article <79fbe0eb-168b-4f7b-8378-f00feaa85632@y36g2000pra.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <110223190213.M0131602@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > その遣り方では, lim_{c \to \infty} c^N/e^c = 0 も示さないといけないし,
> 
> えっ、それはどうしてでしょうか?

使っているでしょう. この積分の収束を問題にするレベルの
質問をしている人には当然ちゃんと証明できるか問い掛けて
置かないといけないでしょう.

> > > In article <110214030847.M0110385@ras1.kit.ac.jp>
> > > Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > > > |\int_0^\infty (log x) x^{s-1} e^{-x} dx|
> > > >  \leq \int_0^1 |(log x) x^{s-1} e^{-x}| dx
> > > ここの不等号はどうして成り立つのでしょうか?
> > |\int_1^\infty (\log x) x^{s-1} e^{-x} dx|
> >  \leq \int_1^\infty |(\log x) x^{s-1} e^{-x}| dx
> > の方には疑問を持たないのに,
> 
> これは積分の性質から言えるのと思いますが。
> 
> > こちらには疑問を持つのですか.
> 
> どうして成り立つのでしょうか?

やっと分かりました.

 |\int_0^1 (\log x) x^{s-1} e^{-x} dx|

とすべきところを

 |\int_0^\infty (\log x) x^{s-1} e^{-x} dx|

と typo したのを問題にしていたのですか.
その程度の修正は御自身でなさって下さい.
 
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol09.jpg
> となってしまったのですがどうすれば分母の(n+1)(n+2)が消せますでしょうか?

 1/((n+1)(n+2)) \leq 1 ですから, 上から評価するには
消して良い.

> 例えばf(x):=|h|(ln(x))^2 x^|h|-|(x^h-1)/h-ln(x)|とすると
> h:=-0.1でx:=0.001の時,f(0.001)=-0.653348589と負になるので
> |(x^h-1)/h-ln(x)|>|h|(ln(x))^2 x^|h|となってしまいますが、、、

私の示した式は

 |(x^h - 1)/h - \log x| \leq |h| |\log x|^2 e^{|h||\log x|}

であって,

 |(x^h - 1)/h - \log x| \leq |h| |log x|^2 x^{|h|}

ではありません. その直ぐ後に,
 0 < x < 1 では |\log x| = - \log x だから,

 |(x^h - 1)/h - \log x| \leq |h| (- \log x)^2 x^{-|h|}

だと書いてあったでしょうに.

> > 貴方の記述のその後で, \exp(|h| \ln x) と絶対値を取り払っているのは
> > 大きな間違いです. \exp(|h| |\log x|) でないといけない.
> > 0 < x < 1 では \log x < 0 ですから,
> > \exp(|h| |\log x|)
> >  = \exp(- |h| \log x) = (\exp(\log x))^{-|h|} = x^{-|h|}
> > となります. 従って,
> > |(x^h - 1)/h - \log x| \leq |h|(- \log x)^2 x^{-|h|}

ほらね.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol11.jpg
> となったのですが
> |(∫_0^∞ exp(-x)x^{s+h}dx-∫_0^∞ exp(-x)x^s dx)/h-∫_0^∞(ln(x))x^{s-1}
> exp(-x)dx
> =|∫_0^∞ exp(-x)x^{s+h}/h dx-∫_0^∞ exp(-x)x^s/h dx-∫_0^∞(ln(x))x^{s-1}
> exp(-x)dx|
> と変形できるのは何故なのでしょうか?

 (a - b)/h = a/h - b/h であることも分かりませんか.
それとも

 (1/h) \int_0^\infty f(x) dx = \int_0^\infty (1/h) f(x) dx

が分かりませんか. それとも, この二つを組み合わせると
分からなくなるのですか.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol12.jpg

私が言ったのは, どんな(小さな)正の数 a に対しても,
十分大きな正の数 A をとれば, 0 < x < 1 において,
 - \log x < A x^{-a}  ( x の負ベキを考えていることに注意)
となるというので, 多分, 貴方にとっては trivial な
ことではないでしょう. それはさておき.

貴方の記述にあるように, - \log x < A x^a とするなら,
 a は負の数です. さて, 0 < x < 1 なる x については
ベキ b が小さくなるほど x^b は大きくなり,
ベキ b が大きくなるほど x^b は小さくなるので,
 x^{a + Re(s) - |h| - 1} のベキを
 x^{\lfloor a + Re(s) - |h| - 1 \rfloor + 1} に置き換えては
貴方の記述の不等号は成立しません.

実は Re(s) > 0, Re(s) - 1 > -1 であるので,
十分 |h| が小さければ Re(s) - |h| - 1 > -1 ですが,
そのような Re(s) と |h| に対して,
 a + Re(s) - |h| - 1 > -1 となるように,
 |a| が十分小さな負の数 a を選ぶことになります.
 a + Re(s) - |h| - 1 を整数に置き換えてはいけません.

この後ろも, 問題は, 積分範囲の 1 の方ではなく,
 0 の方にあることに御注意下さい.
 0 < x < 1 では \exp(-x) は 1 に置き換えて構いません.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop197_vol13.jpg
> でいいのですね。

だから, 駄目です.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp