工繊大の塚本です. # 字化けしているということで再投稿します.

In article <20501ca5-e04e-4b1a-bc7a-52a199eb74a1@z7g2000prh.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> すいません。もう一度仕切りなおしさせて下さい。

はいはい.

> 証明の方針は
> 『0≦|(Γ(s+h)-Γ(s))/h-∫_0^∞ (ln(x))x^{s-1}e^-x dx|
> ≦|h|(∫_0^1 (-ln(x))^2 x^{Re(s)-|h|-1} e^- dx + ∫_1^∞(ln(x))^2 x^{Re(s)
> +|h|-1} e^-x dx)
> ≦|h|(∫_0^1 (-ln(x))^2 x^{Re(s)-|h|-1} e^- dx + ∫_1^∞ x^{Re(s)+|h|-1}
> e^-x dx)
> →0 (as h→0)
> となる(∵要証明)ので

ところどころ不正確ですね.

 | (\Gamma(s+h) - \Gamma(s))/h - \int_0^\infty (\log x) x^{s-1} e^{-x} dx |
 = | \int_0^\infty ((x^h - 1)/h - \log x) x^{s-1} e^{-x} dx |
 \leq \int_0^\infty |(x^h - 1)/h - \log x| x^{Re(s)-1} e^{-x} dx

において, 

 0 < x < 1 では |(x^h - 1)/h - \log x| \leq |h| |\log x|^2 x^{-|h|},
 1 < x では |(x^h - 1)/h - \log x| \leq |h| |\log x|^2 x^{|h|}
ですから,

 | (\Gamma(s+h) - \Gamma(s))/h - \int_0^\infty (\log x) x^{s-1} e^{-x} dx |
 \leq |h| \int_0^1 |\log x|^2 x^{Re(s)-|h|-1} e^{-x} dx
      + |h| \int_1^\infty |\log x|^2 x^{Re(s)+|h|-1} e^{-x} dx

となります.

> ハサミウチの定理から
> lim_{h→0}|(Γ(s+h)-Γ(s))/h-∫_0^∞ (ln(x))x^{s-1}e^-x dx|=0
> が言え,
> lim_{h→0} (Γ(s+h)-Γ(s))/h=∫_0^∞(ln(x))x^{s-1}e^-x dx ∈Cとなる』
> という訳ですよね。

はい.

> これの後半部分
> 『lim_{h→0}|(Γ(s+h)-Γ(s))/h-∫_0^∞ (ln(x))x^{s-1}e^-x dx|=0
> が言え,
> lim_{h→0} (Γ(s+h)-Γ(s))/h=∫_0^∞(ln(x))x^{s-1}e^-x dx ∈Cとなる』
> は　
> 「lim_{z→0}(f(z)-g(z))=0かつlim_{z→0}g(z)が収束するなら
> lim_{z→0}f(z)=lim_{z→0}g(z)」という命題を使われているのでしょうか
> (このような命題があるのか知りませんが)?

 \int_0^\infty (\log x) x^{s-1} e^{-x} dx は h によらない定数です.
一般に \lim_{h \to 0} f(h) = \alpha を示すことは,
 \lim_{h \to 0} |f(h) - \alpha| = 0 を示すことに
他なりません.

> この命題は一見当たり前かなと思えそうですが実際証明できませんでした。
> 証明はどうすればいいのでしょうか?

見当はずれですね.

 f(h) = (\Gamma(s+h) - \Gamma(s))/h に対して.
 \alpha = \int_0^\infty (\log x) x^{s-1} e^{-x} dx とするとき,
 \lim_{h \to 0} |f(h) - \alpha| = 0 を示して,
 \lim_{h \to 0} f(h) = \alpha を導いているだけです.

因みに, \lim_{z \to 0} (f(z) - g(z)) = 0 かつ,
 \lim_{z \to 0} g(z) = \beta が存在するなら,
 \lim_{z \to 0} f(z) = \lim_{z \to 0} (f(z) - g(z) + g(z)) も存在して
 = \lim_{z \to 0} (f(z) - g(z)) + \lim_{z \to 0} g(z) = \beta,
つまり, \lim_{z \to 0} f(z) = \lim_{z \to 0} g(z) (= \beta)
となることも, 当然知っていなければいけないことです.

> 更に
> ∫_0^1 (-ln(x))^2 x^{Re(s)-|h|-1} e^- dx∈R、∫_1^∞ x^{Re(s)+|h|-1} e^-x
> dx∈Rなら
> |h|(∫_0^1 (-ln(x))^2 x^{Re(s)-|h|-1} e^- dx + ∫_1^∞ x^{Re(s)+|h|-1} e^-
> x dx)
> →0 (as h→0)
> と主張されているようですが,

違いますよ.

 \int_0^1 (-\log x)^2 x^{Re(s)-|h|-1} e^{-x} dx という
広義積分も,
 \int_1^\infty (\log x)^2 x^{Re(s)+|h|-1} e^{-x} dx という
広義積分も収束する. 一方,
 Re(s) - h_0 - 1 > -1 となる正の実数 h_0 について,
 |h| \leq h_0 に対しては,
 \int_0^1 (-\log x)^2 x^{Re(s)-|h|-1} e^{-x} dx
 \leq \int_0^1 (-\log x)^2 x^{Re(s)-h_0-1} e^{-x} dx
であり,
 \int_1^\infty (\log x)^2 x^{Re(s)+|h|-1} e^{-x} dx
 \leq \int_0^1 (\log x)^2 x^{Re(s)+h_0-1} e^{-x} dx
であるので,

 \lim_{h \to 0} |h|(\int_0^1 (-\log x)^2 x^{Re(s)-|h|-1} e^{-x} dx
                    + \int_1^\infty (\log x)^2 x^{Re(s)+|h|-1} e^{-x} dx)
 = 0

であるという主張です.

> 喩え
> ∫_0^1 (-ln(x))^2 x^{Re(s)-|h|-1} e^- dx∈R、∫_1^∞ x^{Re(s)+|h|-1} e^-x
> dx∈R　
> でも
> |h|(∫_0^1 (-ln(x))^2 x^{Re(s)-|h|-1} e^- dx + ∫_1^∞ x^{Re(s)+|h|-1} e^-
> x dx)
> →0 (as h→0)
> とどうして言えるのでしょうか?

そこは h \to 0 でのことを考えるので, |h| \leq h_0 として良い,
ということを付けないといけません.

それが評価の仕方というものです.

> |h|→0 (as h→0)であるが
> (∫_0^1 (-ln(x))^2 x^{Re(s)-|h|-1} e^- dx + ∫_1^∞ x^{Re(s)+|h|-1} e^-x
> dx)→∞ (as h→0)
> でとなる場合だってあるかもしれませんよね?

だからありません.

> |h|(∫_0^1 (-ln(x))^2 x^{Re(s)-|h|-1} e^- dx + ∫_1^∞ x^{Re(s)+|h|-1} e^-
> x dx)
> →0 (as h→0)
> の証明には
> |(x^h-1)/h-ln(x)|≦|h|(-ln(x))^2 x^-|h| (if 0<x≦1)

こちらはそうですが,

> |(x^h-1)/h-ln(x)|≦|h|(ln(x))^2 x^-|h| (if 1<x)　

こちらは違います.

 |(x^h - 1)/h - \log x| \leq |h| (\log x)^2 x^{|h|}  (for 1 < x)

です.

> を用いるように仰っていますがそもそもこれをどのように利用するのでしょうか?

用いるところが違います.

 \int_0^\infty |(x^h - 1)/h - \log x| x^{Re(s)-1} e^{-x} dx
 \leq |h| \int_0^1 (-\log x)^2 x^{Re(s)-|h|-1} e^{-x} dx
      + |h| \int_1^\infty (\log x)^2 x^{Re(s)+|h|-1} e^{-x} dx

の所に使いました.

広義積分の収束はちゃんと示して下さいね.
 
> > In article <67ef746d-4563-4c78-a6f2-2fa530835d1e@k10g2000prh.googlegroups.com>
> > KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> > > これはArchimedean principleから言えるのですね。
> In article <110306165740.M0105944@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > どのように言うのですか.

これは何を以って Archimedean principle とおっしゃって
いるのだろうという疑問から生じた問い掛けだったのですが,

> 「0＜x,0＜aなら必ず-log(x)≦Ax^-aなる0＜Aが存在する」を示せばいいのですから

それはそうです.

> f(x):=Ax^-a+ln(x)と置いた時にf(x)>0を示せばいいので
> f(x)=Ax^-a+ln(x)の時,
> f'(x)=-aAx^{-a-1}+1/xなので
> (f'(x)=)-aAx^{-a-1}+1/x=0とすると
> x=(Aa)^{1/a},即ち,x^a=aA…(*)

そのときに f'(x) = 0 となりますね.
 f'(x) = (x^a - aA)/x^{a+1} ですから,
 0 < x < (Aa)^{1/a} のとき f'(x) < 0,
 x > (Aa)^{1/a} のとき f'(x) > 0,
に注意しておくものです.

> x=Ax^-a+ln(x)をf(x)に代入してみると

その言い方は変ですが,

> f((Aa)^(1/a))

を計算するのは良い.

> = A/x^a + logx
> = A/(aA) + log{(Aa)^(1/a)}　　（∵(*)よりx^a=aA）
> = 1/a + (1/a)(logAa)
> = (1/a)(1+logAa)
> ここでA:=e/aと採れば(f((Aa)^(1/a))>0となるので)いい事が分かりますね。

それはそうですが, それと Archimedean principle とは
どう関係するのですか.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp