Re: f:R^2→[-∞,∞]の時,∫_{R^2} f(x)dx=∫_0^{2π}(∫_0^∞ f(rcos(φ),rsin(φ))dr)dφを示せ

工繊大の塚本です.

In article <b3da9cee-5743-413f-92e1-eb6f688724f9@z1g2000yqn.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 厳密にすれば
> σ:{E;Eは線分OAからの弧の長さ}→[0,2π);
> σ(E):=φ(:Eを端点のする扇形の面積)と書け,

 σ は S^1 上の測度で, それを端点とする「扇形」が
 R^2 のルベーグ可測集合である S^1 の部分集合での値が
定義されています. (定義域は S^1 の Borel 集合体を
含んでいます.) { E ; Eは線分OAからの弧の長さ }
などというわけの分からないものの上で定義されているもの
ではありません.

> σの定義域は長さ,γはベクトルで
> g:S→[0,2π);S∋∀γ|→g(γ):=∠(OA,γ)(=φ)とするとgは全単射
> よってσ(g(γ))=σ(∠(OA,γ))=σ(E_{∠(OA,γ)})=σ(E_φ)=φと書ける。
> g(γ)とE_{∠(OA,γ)}を同一視して,σ:=σg(γ)と置く。
> 従って
> ∫_0^{2π} (∫_0^∞ f(rcosφ,rsinφ) r dr) dσ(g(γ))
> =∫_0^{2π} (∫_0^∞ f(rcosφ,rsinφ) r dr) dσ(E_{∠(OA,γ)})
> =∫_0^{2π} (∫_0^∞ f(rcosφ,rsinφ) r dr) dφ
> となるのですね。

何だか, 誤解が積み重なっているようですが, 
一々指摘しません.

> よって(9)の公式は厳密には
> ∫_{R^d} f(x) dx = ∫_{S^{d-1}}(∫_0^∞ f(rγ) r^{d-1} dr) dσ(g(γ))
> と書かれるべきなのですね。

 g って何ですか. 厳密に,

  ∫_{R^d} f(x) dx
  = ∫_{R^d＼{O}} f(x) dx
  = ∫_{S^{d-1}}(∫_0^∞ f(rγ) r^{d-1} dr) dσ(γ)

です.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp