Re: f:R^2→[-∞,∞]の時,∫_{R^2} f(x)dx=∫_0^{2π}(∫_0^∞ f(rcos(φ),rsin(φ))dr)dφを示せ

工繊大の塚本と申します.

In article <459f1cfe-823d-4fcb-ba6c-5ab71b5c306d@b16g2000yqb.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> Let f:R^2→[-∞,∞] be integrable,
> Show that ∫_{R^2} f(x)dx=∫_0^{2π}(∫_0^∞ f(rcos(φ),rsin(φ))dr)dφ.
> という問題です。

式が間違っていますね.

  ∫_{R^2} f(x) dx = ∫_0^{2π} (∫_0^∞ f(r cos φ, r sin φ) r dr) dφ

です.

> どのようにして証明できますでしょうか?

 (9) ∫_{R^d} f(x) dx = ∫_{S^{d-1}}(∫_0^∞ f(rγ) r^{d-1} dr) dσ(γ)

の d = 2 の場合なのですが, R^2＼{(0, 0)} = R^+×S^1 での
「矩形」の面積を円の面積から考えれば, 直接示すことも
出来るでしょうね.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp