工繊大の塚本です.

In article <0e7dc950-7dcd-451d-886f-a6ed1cfdd6c3@e18g2000yqo.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> σ(E_φ) = φのσとdσ(γ) = dφのσは別物なのでしょうか?

同じです.

> もしそうなら別々の記号で表してもよいのでしょうか?

普通, 測度空間 (X, M, μ) が与えられた時,
 X 上の関数 f の積分は, X の点を x で表すことにすると,
 ∫_X f(x) dμ(x) と書きますね.
# ∫_X f dμ とだけ書けば良いと思いますが.

> もはやここではσは扇形の面積を表しているのではなく
> 区間の長さを表しているのですね。
> 何処ですりかわるのでしょうか

すり替えるも何も, S^1 上の測度を σ で表しています.
# その値の計算には扇形の面積が使われましたけれども.

> ここでのσは長さを測っていますから当然,そうなるかと思いましたら
> γの定義からγの長さは1ではありませんか。

 γ は S^1 の「点」を表しています. 長さなどありません.

> だからdσ(γ)=dσ([0,1])=dF(1)では?  またσ(γ)=1.  よってdσ(γ)=d・1=d.
> なんか妙な風になってしまいますが…。　何処に誤釈があるのでしょうか?

 S^1 に座標 φ を入れて, S^1 を [0, 2π) に置き換え,
点 γ を座標 φ に置き換え, S^1 上の関数 f を
 [0, 2π) 上の関数に置き換え, [0, φ] に対応する弧の
測度 σ([0, φ]) が φ となることから, F(φ) = φ と
すれば,

  ∫_{S^1} f(γ) dσ(γ)
  = ∫_0^{2π} f(φ) dF(φ)
  = ∫_0^{2π} f(φ) dφ

となりますが, 理解できませんか.

まあ, S^1 を [0, 2π) と同一視するとき, 
 σ(E_φ) = φ から, σ が普通の Lebesgue 測度の
制限と同じであることが理解できなかった以上,
理解できなくて当然かも知れませんが.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp