ご回答大変ありがうございます。

>>  どうすればdσ(γ)
>>  = dφ が出てくるのでしょうか? すいません。
> σ(E_φ) = φ の φ は弧の長さで,

今,角度はラジアンで考えいるからそうですね。単位円でのφは弧の長さに等しくなりますよね。

>dσ(γ) = dφ の φ は
> γ ∈ S^1 の (x 軸の正の方向との交点から正の向きに計った角度による)
> 座標を表していて, 少し意味が違うことには注意しましょう.

σ(E_φ) = φのσとdσ(γ) = dφのσは別物なのでしょうか?
もしそうなら別々の記号で表してもよいのでしょうか?

> 分かり難く言うと, [0, 2π) 上の 測度 σ を定めることと,
> φ ∈ [0, 2π) で F(φ) = σ([0, φ]) を定めることとは同じですが,
> 今 σ([0, φ]) = φ

もはやここではσは扇形の面積を表しているのではなく区間の長さを表しているのですね。
何処ですりかわるのでしょうか

> ですから, dσ(γ) = dF
>= dφ です.

ここでのσは長さを測っていますから当然,そうなるかと思いましたらγの定義からγの長さは1ではありませんか。
だからdσ(γ)=dσ([0,1])=dF(1)では?  またσ(γ)=1.  よってdσ(γ)=d・1=d.
なんか妙な風になってしまいますが…。　何処に誤釈があるのでしょうか?