工繊大の塚本です.

In article <57dec66c-cc26-4a6e-bbc2-1fe9dbdff993@s36g2000vbp.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> (9)を使うのですね。
> ∫_{R^2} f(x) dx = ∫_{S^{2-1}}(∫_0^∞ f(rγ) r^{2-1} dr) dσ(γ)ですから
> =∫_S (∫_0^∞ f(rγ) r dr) dσ(γ)
> =∫_0^{2π} (∫_0^∞ f(rγ) r dr) dσ(γ) (∵Sは単位円)
> =∫_0^{2π} (∫_0^∞ f(rcosφ,rsinφ) r dr) dσ(γ)
> (∵定義r=|x|,γ=x/|x|より,極座標表示の定義)
> 
> ここでE_φを単位円S上の中心角φラジアンの弧とすると
> 測度σの定義からσ(E_φ)=1・m(E_φ~) (但し,E_φ~は扇形)

 d = 2 の場合ですから, σ(E_φ) = 2 m(E_φ~) です.

> =m(E_φ~)=1^2・π・φ
> (∵ルベーグ測度の定義よりm(E_φ~)はE_φ~の面積を表す。
> よって扇形の面積の公式)=πφ.

半径が 1 の扇形の面積の公式は m(E_φ~) = (1/2) φ です.
# φ = 2π のとき, 単位円の面積 π になります.

結局, σ(E_φ) = φ です.

> よって E_φがγの場合は中心角0ラジアンの弧と考えればいいので
> σ(γ)=m(lim_{φ→0}E_φ~)=lim_{φ→0}m(E_φ~)
> (∵m(S)<∞なのでlimを外に出せる)
> =lim_{φ→0}πφ=0

確かに一点 {γ} の測度は 0 ですね.

> =∫_0^{2π} (∫_0^∞ f(r cos φ, r sin φ) r dr) dφ
> にたどり着けませんがどこか勘違いしてますでしょうか?

 σ(E_φ) = φ から dσ(γ) = dφ となることが分からないと
ちょっと困ります.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp