工繊大の塚本です.

In article <931381a2-ab8c-4c1f-a9cf-a1ecdae1d9e1@r34g2000vba.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> ひとつ気になるのが
> 
> In article <090225203123.M0123197@cs2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > 一方, G ∈ M_1×M_2 とすると, G = G_1×G_2 で,
> 
> このG_1とG_2はx何の元でしょうか? ただG_1⊂X_1,G_2⊂X_2な集合でしょうか?
> これについては再三注意していただいてもので
> M_1×M_2:=σ({E_1×E_2;E_1∈M_1,E_2∈M_2})でG∈ M_1×M_2なら
> G=G_1×G_2(但しG_1∈M_1,G_2∈M_2)とは書けないのですよね。

 M_1×M_2 = { G_1×G_2 | G_1 ∈ M_1, G_2 ∈ M_2 } です.
 M_1×M_2 が集合体になるとも何とも言っていません.
# ならないわけです.
 σ(M_1×M_2) は **後で** 出て来ます.
従って, ここでは G = G_1×G_2, G_1 ∈ M_1, G_2 ∈ M_2 と
書けるものについて議論しています.

> > ある E_1, F_1 ∈ B_1 で E_1 ⊂ G_1 ⊂ F_1, m_1(E_1) = m_1(F_1),
> > ある E_2, F_2 ∈ B_2 で E_2 ⊂ G_2 ⊂ F_2, m_2(E_2) = m_2(F_1),
> 
> これはどうしてもわかりませんでした。どうしてこれが成り立つのでしょうか?

 G_1 ∈ M_1 ですから, 貴方が好まれる書き方では,
 G_1 = E_1 ∪ Z_1, E_1 ∈ B_1, Z_1 ⊂ H_1 ∈ B_1, m_1(H_1) = 0,
となっています. F_1 = E_1 ∪ H_1 とすれば, F_1 ∈ B_1 で,
 E_1 ⊂ G_1 ⊂ F_1, 一方, F_1＼E_1 ⊂ H_1 ですから,
 m_1(F_1＼E_1) = 0 でもあり, m(F_1) = m(E_1) + m(F_1＼E_1) = m_1(E_1)
です. G_2 についても同様です.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp