ご回答大変ありがとうございます。


> T_1 ⊂ { E_1 ⊂ R^{d_1} | E_1×K_2 ∈ σ(T) },
> T_1 ⊂ σ(T_1) で,
> { E_1 ⊂ R^{d_1} | E_1×K_2 ∈ σ(t) } が σ 集合体なら, です.
> E_1 は σ(T_1) から取るわけではありません.

ありがとうございます。納得です。

>> 生成されるσ集合体の最小性から{E_1∈σ(T_1);E_1×K_2∈σ(T)}=σ(T_1)と 成るわけですね。
> σ(T_1) ⊂ { E_1 ⊂ R^{d_1} | E_1×K_2 ∈ σ(T) } が結論です.

OKです。

>> よってE_1 ∈ σ(T_1)ならE_1×K_2∈σ(T).
> まあ, 後で必要なのはそれだけですが. ともあれ,
>>  T_1⊂{E_1∈σ(T_1);E_1×K_2∈σ(T)}は明らかなので
>> {E_1∈σ(T_1);E_1×K_2∈σ(T)}がσ集合をなす事を チェックしてみました。
>> E_1∈{E_1∈σ(T_1);E_1×K_2∈σ(T)}を採ると,
>> E_1^c∈{E_1∈σ(T_1);E_1×K_2∈σ(T)}である為には E_1^cはE_1^c×K_2∈σ(T)とならねばなりませんが,
>>すいません。E_1^c×K_2∈σ(T)はどうすれば言えますでしょうか?
> E_1^c×K_2 = (E_1×K_2)^c ∩ R^{d_1}×K_2 ∈ σ(T) です.

OKです。

ひとつ気になるのが

>一方, G ∈ M_1×M_2 とすると, G = G_1×G_2 で,

このG_1とG_2はx何の元でしょうか? ただG_1⊂X_1,G_2⊂X_2な集合でしょうか?
これについては再三注意していただいてもので
M_1×M_2:=σ({E_1×E_2;E_1∈M_1,E_2∈M_2})でG∈ M_1×M_2なら
G=G_1×G_2(但しG_1∈M_1,G_2∈M_2)とは書けないのですよね。


> ある E_1, F_1 ∈ B_1 で E_1 ⊂ G_1 ⊂ F_1, m_1(E_1) = m_1(F_1),
> ある E_2, F_2 ∈ B_2 で E_2 ⊂ G_2 ⊂ F_2, m_2(E_2) = m_2(F_1),

これはどうしてもわかりませんでした。どうしてこれが成り立つのでしょうか?