ご回答大変ありがとうございます。


>> すいません。 区間の積の上で一致って どういうことでしょうか?
> M, M_1, M_2 はいずれも区間の積から生成される σ 集合体の
> 完備化です.

つまり,M={E∪Z;E,F∈σ({Π_{i=1}^d (a_i,b_i];a_i,b_i∈R}),Z⊂F,m(F)=0},
M_1={E∪Z;E,F∈σ({Π_{i=1}^{d_1} (a_i,b_i];a_i,b_i∈R}),Z⊂F,m_1(F)=0},
M_2={E∪Z;E,F∈σ({Π_{i=1}^{d_2} (a_i,b_i];a_i,b_i∈R}),Z⊂F,m_2(F)=0}
となっているのですね。ここでM,M_1,M_2はμとμ_1とμ_2とで定義されているので
μとμ_1とμ_2の定義域はそれぞれσ({Π_{i=1}^d (a_i,b_i];a_i,b_i∈R}),
σ({Π_{i=1}^{d_1} (a_i,b_i];a_i,b_i∈R}),σ({Π_{i=1}^{d_2}
(a_i,b_i];a_i,b_i∈R})なのですね。

この事は知りませんでした。


> 区間の積 (a_1, b_1]×(a_2, b_2]×…×(a_d, b_d]
> = (a_1, b_2]×…×(a_{d_1}, b_{d_1}]×(a_{d_1+1}, b_{d_1+1}]×…×(a_d,
：
> で一致するのは明らかですね.

これは納得できました。


>> M=M'~を示す。M⊃M'~を示す。
> M' = σ(M_1×M_2) でしたが,

すいません。


>> ∀E∪Z∈M'~(但しE∈M',Z⊂F∈M',(m_1×m_2)(F)=0)を採ると M'はR^dでのルベーグ集合体になってるので
> 先ず, 完備化する前の M' はルベーグ集合体にはなっていません.
> # 完備化したら M'~ = M となるというのが示すべきことでした.
>> M⊃M',
> これを示さないと始まりません.

そうですね。


>> そしてZ∈M'(∵ルベーグ空間は完備空間) なので,E∪Z∈M'
> Z は何でしょう.

ZはZ⊂F∈M',(m_1×m_2)(F)=0なる集合です。


>> よってE∪Z∈M. 次にM⊂M'~を示す。。。 はどうにもできません。 その明らかな方法をご教示ください。すいません。
> M = σ(M_1×M_2)~ が明らかといったわけではないのですが,
> それはさておき,
> 議論の順番に気をつけなければいけないですね.

すいません。


> R^{d_1} のボレル集合体を B_1, R^{d_1} のボレル集合体を B_2,
> R^d のボレル集合体を B としましょう.
> ボレル集合体は開集合から生成されていると思っても, 区間の積
> から生成されていると思っても, どちらでも良いので,

開区間でも閉区間でも半開区間でもいいんですよね。
更には閉集合から生成されてると言ってもいいんですよね。


> ここでは
> 区間の積から生成されているとします.
> 区間の積の全体を T_1, T_2, T とすれば, B_1 = σ(T_1),
> B_2 = σ(T_2), B = σ(T) です.

これは定義どおりですね。


> K_2 ∈ T_2 を任意に固定すると, 任意の K_1 ∈ T_1 について
> K_1×K_2 は T の元ですから,

そうですね。


> 任意の E_1 ∈ σ(T_1) について,
> E_1×K_2 は σ(T) の元になります.

これは難しいですね。何故でしょうか?


> 次に E_1 を固定すると,
> 任意の K_2 ∈ T_2 について E_1×K_2 が σ(T) の元ですから,
> 任意の E_2 ∈ σ(T_2) について E_1×E_2 が σ(T) の元に
> なります.

つまり,E_1×K_2∈σ(T)でK_1×E_2∈σ(T)も言える。
よってE_1×E_2=(E_1×K_2)∪(K_1×E_2)∈σ(T)(∵σ集合体の定義)となるからでしょうか?


>これで B_1×B_2 ⊂ B が,

{E_1×E_2;E_1∈B_1,E_2∈B_2}⊂Bですね。

> 従って σ(B_1×B_2) ⊂ B
> が示されました.

これはσ(B_1×B_2)のσ集合体としての最小性からですね。


> 一方, T の元 E は常に E = E_1×E_2 ∈ T_1×T_2 ⊂ B_1×B_2
> となりますから, B = σ(T) ⊂ σ(B_1×B_2) でもあります.

なるほど。


> これで B = σ(B_1×B_2) が示されました. 又, この上で,
> m, m_1×m_2 が定義されていて, 一致することも分かります.
> # これが明らかな部分.

分かりました。


> さて, M は B の完備化ですが, B = σ(B_1×B_2) ⊂ σ(M_1×M_2)
> ですから, M ⊂ σ(M_1×M_2)~ となります.

納得できました。


> #  G ∈ M とは, ある E, F ∈ B で E ⊂ G ⊂ F かつ m(E) = m(F)
> # となるものがとれるものですが,
：
> # 二つの測度が一致する集合の全体がσ集合体をなすことを
> # 使っています.

大変恐縮です。
すいません。ここだけ混乱してしまいました。
M = σ(M_1×M_2)~が成立する事が分かった後は,
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/problem13.jpg
での完備化測度の定義
「μ~がμの完備化測度 ⇔(def) ∀E,F∈Mに対しμ~(E∪Z)=μ(E) (但し,Z⊂F∈M,μ(F)=0)」
でチェックしてみたいのですが今,mがm_1×m_2の完備化測度になっている事を示したいので
∀E,F∈M (但し,Z⊂F,(m_1×m_2)(F)=0)に対し.m(E∪Z)=(m_1×m_2)(E)を示したいのですがうまくいきませ
ん。
Mは完備化σ集合体ですからZ∈MでE∪Z∈Mだからm(E∪Z)が定義できていることはわかりました。
m(E∪Z)からどうすれば(m_1×m_2)(E)に持っていけますでしょうか?