ご回答大変ありがとうございます。


> 違います. 先ず, M を R^d のルベーグ集合体とするとき,
> M = σ(M_1×M_2)~ になることを示し,

mがm_1×m_2の完備化という事はともあれ,mのσ集合体Mがm_1×m_2の積σ集合体M':=σ
({E_1×E_2;E_2∈M_1,E_2∈M_2})を完備化したσ集合体M'~={E∪Z;E∈M',Z⊂F∈M',(m_1×m_2)(F)
=0}がMと一致する事をまず言わないといけないのですね。


> その上で,
> E ∈ M に対し, m(E) = (m_1×m_2)(E) となることを
> 示すわけです. 後半よりも前半が重要です.

なるほど。。


> (区間の積の上で両者が一致することから, M の上で
> 一致することは殆んど明らかです.)

すいません。 区間の積の上で一致って どういうことでしょうか?

M=M'~を示す。M⊃M'~を示す。
∀E∪Z∈M'~(但しE∈M',Z⊂F∈M',(m_1×m_2)(F)=0)を採るとM'はR^dでのルベーグ集合体になってるのでM⊃M',
そしてZ∈M'(∵ルベーグ空間は完備空間) なので,E∪Z∈M'
よってE∪Z∈M.
次にM⊂M'~を示す。。。
はどうにもできません。
その明らかな方法をご教示ください。すいません。


とりあえず,M=M'~が示されたとして,
∀E∪Z∈Mをとると(但し,E∈M',Z⊂F∈M',(m_1×m_2)(F)=0),m(E∪Z)=m((E＼Z)∪Z)
=m(E＼Z)+m(Z) (∵ルベーグ空間は完備空間なのでZ∈M.よってE＼Z∈M.従って可算加法性)
=m(E＼Z)+0=m(E＼Z)=m(E)-m(Z)(∵可算加法性) =m(E)-0=m(E)=(m_1×m_2)(E) (∵E∈M')
よってmはm_1×m_2から完備化された測度.
となったのですがこれでいいでしょうか?


> その意味では以下は見ても仕方がないですが,

誠に申し訳ありません。


>> [証]
>> ∀E∈σ(M_1×M_2)~を採ると,
>> ∃E^{x_2}∈M_1,E^{x_1}∈M_2;E=E^{x_2}×E^{x_1}と言える
>> (∵積σ集合体の定義).
> 何度も言っていると思いますが, そうはいえません.

すいません。またやってしまいました。これについては今後細心の注意を払います。m(_ _)m