工繊大の塚本です.

In article <723a59aa-e727-4d99-b4b3-6e99b5b8d37b@h16g2000yqj.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> > 確認なのですが
> > 「f(x,y)をR×Rでルベーグ可測な非負関数とする。次の真偽を判定せよ。
> > (1) 各y∈Rに対し,x|→f(x,y)はRでルベーグ可測である」
> > はTをRの通常の位相とすると(R×R,σ({A×B;A,B∈T})~,m×m)
> > (但し,σ({A×B;A,B∈T})~
> > :={E∪Z;E∈σ({A×B;A,B∈T}),Z⊂F∈σ({A×B;A,B∈T}),(m×m)(F)=0})
> > がR×Rの積測度空間になるのですね。
> 
> よくよく考えるとこれは意味不明ですね。T=ルベーグ集合体
> と勘違いしておりました。
> 正しくは
> 「MをRでのルベーグ集合体とすると(R×R,σ({A×B;A,B∈M})~,m×m)
> (但し,σ({A×B;A,B∈M})~
> :={E∪Z;E∈σ({A×B;A,B∈M}),Z⊂F∈σ({A×B;A,B∈M}),(m×m)(F)=0
> ならばZ∈σ({A×B;A,B∈M})})
> と書くべきでした。

最後のところの記述に乱れがあるようですが, いずれにせよ,
生成される σ集合体の完備化を取るなら, A, B を
ルベーグ可測集合から取っても, 開集合から取っても, 区間から取っても,
結果は同じです.

> In article <090215014021.M0210645@cs1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > 任意の正の数 ε を与えた時, それより測度の和が小さい
> > 有限測度の開集合の和集合で R×{y} を 被覆できることを
> > 示して, 零集合であることを確認して下さい.
> 
> えーと,これは 0<ε∈Rに対して
> R×{y}
> ⊂∪_{n=1}^∞ ((-n,-n+1]×(y-ε,y+ε))∪
>   ∪_{n=1}^∞ ((n-1,n]×(y-ε,y+ε))
> とすると
> μ(∪_{n=1}^∞ ((-n,-n+1]×(y-ε,y+ε))∪∪_{n=1}^∞ ((n-1,n]×(y-ε,y+ε)))
> =μ_*(∪_{n=1}^∞ ((-n,-n+1]×(y-ε,y+ε))∪
>       ∪_{n=1}^∞ ((n-1,n]×(y-ε,y+ε)))
> =inf{Σ_{n=1}^∞ 2ε +Σ_{n=1}^∞ 2ε ;0<ε}
> =inf{Σ_{n=1}^∞ 4ε ;0<ε}
> (∵外測度の定義)
> =inf{4εΣ_{n=1}^∞ε^{n-1} ;0<ε}=inf{4ε/1-ε ;0<ε} (但し,ε<1の時)
> =0 (∵εを小さく採ると,分母→1,分子→0).
> 
> きれいに開区間の直積で覆えなかったので半開区間で覆ったのですが
> これででもいいんですよね
> (∵(n-2,n-1]=(n-2,n)＼(n-1,∞)はルベーグ可測集合(∵σ集合体の定義))。

そこはどうでも良いですが, 単に Σ_{n=1}^∞ 4ε としたのでは
 ∞ になるだけです. 次のところで 4ε×ε^{n-1} が出て来ている
ので, 勘違いされているのだろうとは思いますが, そういうところにも
注意をお払い下さい.

あとは,

> となりました。よって零集合の定義「Z⊂Fでμ(F)ならZは零集合」から
> R×{y}も零集合となるのですね。

 A ⊂ R の A×{y} とかの話でしょうね.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp