工繊大の塚本です. 些細なことですが,

In article <7565940b-5aeb-466a-a506-f1e50dc832c3@40g2000prx.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> Σ_1×Σ_2={(A,B);A∈Σ_1,B∈Σ_2}もΣ_1×Σ_2={A×B;A∈Σ_1,B∈Σ_2}も
> σ加法族にはならないのですね。

この話で (A, B) が必要になることは余り考えられません.

> In article <090128182214.M0218331@cs2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> >  Ω_1×Ω_2 の可測集合全体を Σ_1×Σ_2 から生成される
> >  σ加法族にするか, 更にそれを完備化したものにするか, は
> > 必要に応じてどちらでも有り得ます.
> 
> (Ω_1,Σ_1,μ_1),(Ω_2,Σ_2,μ_2)からΩ_1×Ω_2を測度空間に
> 仕立て上げたい時には
> Ω_1×Ω_2のσ集合体としてσ(Σ_1×Σ_2)を採り,
> (Ω_1×Ω_2,σ(Σ_1×Σ_2),μ_1×μ_2)
> (但し,(μ_1×μ_2)(A×B):=μ_1(A)μ_2(B) (A∈Σ_1,B∈Σ_2))や
> {(E_1×E_2)∪(Z_1×Z_2);E_1×E_2∈σ(Σ_1×Σ_2),
>                         Z_1×Z_2⊂E_1×E_2∈σ(Σ_1×Σ_2),
>                         (μ_1×μ_2)(E_1×E_2)=0}
> が採れるのですね。

後者は σ(Σ_1×Σ_2) の完備化を表せてはおりません.
 R^2 の Lebesgue measure は R^1 の Lebesgue measure
の直積ですが, この場合は完備化したものを直積の定義と
しています. この問題で, 非可測集合×一点 が可測集合
となったことを, 良くお考え下さい.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp