ご回答誠に有難うございます。

>> 確かにΠ_{n=0}^∞(1+a_n)Σ_{n=1}^∞ b_nが絶対収束とは意味不明ですね。
>> どのように訂正すべきでしょうか?
> 削れば良いでしょう.

どのように削ればいいのでしょうか?

>>> 掛け算と足し算位は区別しましょう.
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_12_...
>> なら宜しいでしょうか?
> もう一度言います. 掛け算と足し算位は区別しましょう.

大変失礼いたしました。最後行を
「Thus Π_{n=1}^{N-1}(1+u_n(z))exp(Σ_{n=N}^∞Ln(1+u_n(z)) converges
absolutely…」
↓
「Thus Π_{n=1}^{N-1}(1+u_n(z))exp(LnΠ_{n=N}^∞(1+u_n(z)) converges
absolutely…」
とすべきでした。

> さて, 領域 D で正則な u_n(z) について,
> |u_n(z)| \leq M_n, \sum_{n=1}^\infty Mn < +\infty が成立していれば,
：
> 使っているわけでもありません.

了解いたしました。

>> えっ? どういう事でしょうか? holomorphicである
>> 理由を述べる必要がありますよね?
> 一言そういえば済むことでしょう.

そうでしたか。

> 正(負)の無限大への発散の場合は, 拡大数直線での収束と見る
> 立場もありますから, 区別することもありますが, それ以外は
> 不要の区別です.

了解いたしました。

>>> (d/dz)(\log(\prod_{n=1}^\infty (1 - z^2/n^2))) と書いているものを
>>> (d/dz)(\prod_{n=1}^\infty (1 - z^2/n^2))/(\prod_{n=1}^\infty (1 -
>>> z^2/n^2))
>>> に戻してはいけません.
>> えっ? すいません。ではどのように訂正したらよいのでしょうか?
> 単に \sum_{n=1}^\infty (-2z/n^2)/(1-z^2/n^2) に変形して
> 行けば良いでしょう.

了解です。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_13_...
>> となったのですがどうしてlim_{z→0}とlim_{k→∞}を入れ換えれるのでしょうか?
> \prod_{n=1}^\infty (1 - z^2/n^2) は正則関数ですから
> 連続で, \lim_{z \to 0} の極限を計算するには
> 単に z = 0 を代入すれば良い.

ありがとうございます。納得です。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_3__16.jpg
>> となったのですがkとxをどのように採れば
>> |Σ_{n=k+1}^∞2x/(x^2-n^2)|>εとできましょうか?
：
> | (\pi \cot \pi z - 1/z) - \sum_{n=1}^k 2z/(z^2 - n^2)| > \epsilon
> としたければ, z を k+1 に近づけて取れば十分です.

どうもありがとうございます。納得です。