工繊大の塚本です.

In article <1ba8f3dd-2169-4fd2-9ef1-24b9a3e08109@gv8g2000vbb.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <110524193337.M0119273@ras2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> >  \cos(\pi x)/\sin(\pi x)
> >   = (1/\pi) (d/dx)(\log(\prod_{n=1}^\infty (1-x^2/n^2))) + 1/(\pi x)
> > です.
> 
> ふーむ,そうですか。。
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_3__07.jpg

この中の5行目に上に書いた式がありますね. さて

  \cos(\pi x)/\sin(\pi x)
  = i (\exp(\pi x i) + \exp(- \pi x i))/(\exp(\pi x i) - \exp(- \pi x i))

と書き直すわけですが, それを

  = i ((\exp(\pi x i) + \exp(- \pi x i)) \exp(2))
    / ((\exp(\pi x i) - \exp(- \pi x i)) \exp(2))

と書きなおしても(全く無駄ですが)構いませんが,
 \exp(\pi x i) \exp(2) = \exp(\pi x i + 2) であって,
 \exp(2 \pi x i) ではありませんから,
その次の式は駄目です. 正しくは,

  = i ((\exp(\pi x i) + \exp(- \pi x i)) \exp(\pi x i))
    / ((\exp(\pi x i) - \exp(- \pi x i)) \exp(\pi x i))
  = i ((\exp(2 \pi x i) + 1)/((\exp(2 \pi x i) - 1)
  = i (t + 1)(t - 1)
  = - 2i ((1 + t)/(2(1 - t)))
  = - 2i h_1(t)

です. (但し, t = \exp(2 \pi i x).)

更に, h_1(t) = の形に書き直すところも間違っています.

  h_1(t) = - (1/(2 \pi i)) (d/dx)(\log(\prod_{n=1}^\infty (1 - x^2/n^2)))
           - (1/(2 \pi i x))

です.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_3__08.jpg
> という具合になって

2行目の式で, 1/(2 \pi i) で括るのであれば, 括弧の中は
 1/(2 \pi i x) ではなくて, 1/x です. 符号もおかしい.
正しくは,

  h_1(t)
   = - (1/(2 \pi i)) ((d/dx)(\log(\prod_{n=1}^\infty (1 - x^2/n^2))) + 1/x)
   = - (1/(2 \pi i)) (\sum_{n=1}^\infty (- 2x/n^2)/(1 - x^2/n^2) + 1/x)
   = - (1/(2 \pi i)) (\sum_{n=1}^\infty (2x)/(x^2 - n^2) + 1/x)
   = - (1/(2 \pi i)) ((\sum_{n=1}^\infty (1/(x+n) + 1/(x-n))) + 1/x)
   = - (1/(2 \pi i)) ((1/2)(\sum_{n \neq 0} (1/(x+n) + 1/(x-n))) + 1/x)
   = - (1/(2 \pi i)) (1/2) (\sum_{n \in Z} (1/(x+n) + 1/(x-n)))

です.

> h_1(t)=-1/2・1/(2πi)Σ_{n∈Z}(1/(x+n)-1/(x-n))が出てこないのですが
> 何処を勘違いしてますでしょうか?

至る所間違っています.

> C^Nは配置集合の事ですね。つまり,{x_n}_{n=1}^∞∈Map(N,C)という訳ですね。
> 今,x∈Map(N,C)と考えているのでx_1,x_2,…はCの元です。
> 従って,{x_n}∈2^Cとしたのですが誤ってますでしょうか?

誤っています. 数列と, 数列を構成する数の全体の集合とは違います.
 a_n = 0 で定まる数列 { a_n }_{n=1}^\infty と
ただ一つの元からなる集合 { 0 } とを
混同してはいけません.

> fがD上で絶対収束する事は
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop199_3__00.JPG
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop199_3__01.JPG
> という具合に出来ましたが『十分大きいNをとればM_n≦1/2 (n≧N)とできる.』
> と説明になってるのですがこれはどうしてなのでしょうか?

最初の仮定で, \sum_{n=1}^\infty M_n は収束しているのですから,
 \lim_{n \to \infty} M_n = 0 であり, 明らかにそういう N が
取れます.
 
> そして|Ln(1+u_n(z))|≦2|u_n(z)|の不等号はどうしてなりたつのでしょうか?

 - 1/2 \leq x \leq 1/2 について, |\log(1 + x)| \leq 2|x| を
示すのです.
 0 \leq x のときは 0 \leq \log(1 + x) \leq x \leq 2x
だから簡単ですね.
 - 1/2 \leq x \leq 0 のとき, 2x \leq \log(1 + x) \leq 0
を示せば良い. \log(1 + x) - 2x が - 1/2 \leq x \leq 0 で
単調減少で, x = 0 で零になることを示して下さい.

> そしてg(z):=Σ_{n=N}^∞Ln(1+u_n(z)|がD上で絶対収束する事は
> Weierstrass'のM-testから分かりますが
> 更にg(z)がD上で正則となるのはどうして言えるのでしょうか?

正則関数の一様収束極限はまた正則関数になるからです.
# 絶対収束するだけでなく一様収束でもあることが大事です.

> そしてどうしてg(z)がD上で絶対収束&正則なら
> exp(g(z))という変形が可能なので絶対収束性&正則となるのでしょうか?

 g(z) が正則関数であれば, \exp(g(z)) も正則関数です.
一方, \log は連続関数ですから,

  g(z)
   = \sum_{n=N}^\infty \log(1 + u_n(z))
   = \lim_{M \to \infty} \sum_{n=N}^M \log(1 + u_n(z))
   = \lim_{M \to \infty} \log(\prod_{n=N}^M (1 + u_n(z)))
   = \log(\lim_{M \to \infty} \prod_{n=N}^M (1 + u_n(z)))

であり,

  \exp(g(z))
   = \exp(\log(\lim_{M \to \infty} \prod_{n=N}^M (1 + u_n(z))))
   = \lim_{M \to \infty} \prod_{n=N}^M (1 + u_n(z))

です.
 
> 更に絶対収束&正則関数同士の積
> f(z)=Π_{n=1}^{N-1}(1+u_n(z))・exp(Σ_{n=N}^∞Ln(1+u_n(z)))
> までもが絶対収束&正則となる事はどうしてなのでしょうか?

正則関数の有限個の積は正則関数だからです.

> 『(ii) f(z)=0 ⇔ ∃n∈N〓{0};1+u_n(z)=0』についての証明は
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop199_3__02.jpg
> でいいのですね。

駄目です.

  \lim_{k \to \infty} \prod_{n=1}^k (1 + u_n(z))
   = \lim_{k \to \infty} (\prod_{n=1}^{n'-1} (1 + u_n(z))
                          \times \prod_{n=1}^{n'+k} (1 + u_n(z)))

という式は, 意味すら不明です.

  \lim_{k \to \infty} \prod_{n=1}^k (1 + u_n(z))
   = \lim_{k \to \infty} (\prod_{n=1}^{n'-1} (1 + u_n(z))
                          \times \prod_{n=n'}^k (1 + u_n(z)))
   = (\prod_{n=1}^{n'-1} (1 + u_n(z)))
     \times \lim_{k \to \infty} \prod_{n=n'}^k (1 + u_n(z))

と書きたかったのでしょうか. ともあれ, テキストには, 無限積は

  f(z) = (\prod_{n=1}^{N-1} (1 + u_n(z))) \times \exp(g(z))

と定義するが, \exp(g(z)) は零にならないので,
 f(z) = 0 となるのは \prod_{n=1}^{N-1} (1 + u_n(z)) = 0
となる時に限り, それは ( N-1 までの) どれかの n について,
 1 + u_n(z) = 0 となる場合である, とちゃんと書いてあります.
 
> 『(iii) f'(z)/f(z)=Σ_{n=1}^∞u'(z)/(1+u_n(z))』の証明では
> f'(z)/f(z)=(Π_{n=1}^∞(1+u_n(z)))'/(Π_{n=1}^∞(1+u_n(z)))
> =d/dz(Π_{n=1}^∞(1+u_n(z)))/(Π_{n=1}^∞(1+u_n(z)))
> (∵Π_{n=1}^∞d/dz(u_n(z))/はD上で一様収束する(∵??)ので項別微分可能)
> =Π_{n=1}^∞d/dz(u_n(z))/(Π_{n=1}^∞(1+u_n(z)))
> となっていますがどうすればΠ_{n=1}^∞d/dz(u_n(z))/が
> D上で一様収束する事が分かりますでしょうか?

そういう変形ではないのです.
そもそも無限積の微分について,
 (d/dx)(\prod_{n=1}^\infty (1 + u_n(z)))
を \prod_{n=1}^\infty (d/dx)(u_n(z)) などと
するというのは, (fg)' を f'g' とするようなものです.

  f'(z)/f(z)
   = (d/dz)(\log(f(z)))
   = (d/dz)(\log((\prod_{n=1}^{N-1} (1 + u_n(z))) \times \exp(g(z))))
   = (d/dx)((\sum_{n=1}^{N-1} \log(1 + u_n(z))) + \log(\exp(g(z))))
   = \sum_{n=1}^{N-1} (d/dz)(\log(1 + u_n(z))) + (d/dz)(g(z))
   = \sum_{n=1}^{N-1} (u_n(z))'/(1 + u_n(z))
     + (d/dz)(\sum_{n=N}^\infty \log(1 + u_n(z)))

正則関数の無限和 \sum_{n=N}^\infty \log(1 + u_n(z)) が
一様収束すれば, その導関数の無限和 \sum_{n=1}^\infty (\log(1 + u_n(z)))'
も一様収束し, (\sum_{n=1}^\infty \log(1 + u_n(z)))' に等しいことは,
 106 page の定理 5.3 で証明されています.

結局,

  f'(z)/f(z)
   = \sum_{n=1}^{N-1} (u_n(z))'/(1 + u_n(z))
     + (d/dz)(\sum_{n=N}^\infty \log(1 + u_n(z)))
   = \sum_{n=1}^{N-1} (u_n(z))'/(1 + u_n(z))
     + \sum_{n=N}^\infty (d/dz)(\log(1 + u_n(z)))
   = \sum_{n=1}^\infty (u_n(z))'/(1 + u_n(z))

となるわけです.
 
> それと
> どういう手順でf'(z)/f(z)=Σ_{n=1}^{N-1}u'_n(z)/(1+u_n(z))+g'(z)
> と出来るのでしょうか?

上の通り.

> そしてg(z)=Σ_{n=N}^∞Ln(1+u_n(z))|が項別微分できるそうなのですが
> それならg(z)がD上で一様収束する事はどうして分かるのでしょうか?

 g(z) が一様収束することは Weierstrass の優級数判定法です.

> 一応,
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_12_3__00.jpg
> となったのですが

そういう筋の悪い計算は忘れていただいて,

> どうすれば
> f'(z)/f(z)=Σ_{n=1}^{N-1}u_n(z)'/(1+u_n(z))+g(z)'と出来ますでしょうか?

上の通り.

> > 定理 5.13 の証明には
> >  \sin(\pi x) = (\pi x) \prod_{n=1}^\infty (1 - x^2/n^2)
> > の右辺が, 任意の複素数 x について絶対収束し,
> 
> Weierstrass'のM-testを利用されたのだと思います
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_13_00.jpg
> としてみたのですが

やはり Weierstrass の優級数判定法が理解できていない
ようですね.

> dominant seriesをどのようにとればいいのでしょうか?

 \prod_{n=1}^\infty (1 - z^2/n^2) = \prod_{n=1}^\infty (1 + u_n(z))
と考えるわけですから, u_n(z) = - z^2/n^2 であり,
 |z| \leq R において, |u_n(z)| \leq M_n となる M_n としては,
 M_n = R^2/n^2 とすることになります.

> > 任意の正数 R について, |x| \leq R で一様収束である
> > ことが書かれています.
> 
> そうですね。
> 
> > 更に, \S 5.3 (b) の結果から,
> > それを「項別対数微分」しても良いことが分かっています.
> 
> すいません。「項別対数微分」とは
> d/dx((πx)Π_{n=1}^∞ (1 - x^2/n^2))=(πx)Π_{n=1}^∞ d/dx(1 - x^2/n^2)
> が成立つという意味でしょうか?

違います.

  (d/dz)(\log(\prod_{n=1}^\infty (1 - z^2/n^2)))
   = \sum_{n=1}^\infty (d/dz)(\log(1 - z^2/n^2))

が成り立つということです.

> \S 5.3 (b),p113の何処にその事が記載されているのでしょうか?

定理 5.12 の (iii) です.
 
> > それらを使えば,
> >  (\sin(\pi x))'/\sin(\pi x)
> >  = 1/x + \sum_{n=1}^\infty (-2x/n^2)/(1 - x^2/n^2)
> >  = 1/x + \sum_{n=1}^\infty 2x/(x^2 - n^2)
> > が成立することは,
> 
> 複素関数入門「神保道夫著」,p108の式(5.4)を利用すると
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_13__01.jpg
> となるのですね。

 x を z に書き換えるのであれば, 一箇所書き換え忘れていますよ.

> > 定理 5.13 の証明の中にも出て来ます.
> > 少し変形すれば
> >  = 1/x + \sum_{n=1}^\infty (1/(x+n) + 1/(x-n))
> > であることも分かります.
> 
> えっ? どのようにして複素関数入門「神保道夫著」,p114では
> f'(z)/f(z)と1/z+Σ_{n=1}^∞ 2x/(z^2-n^2)が繋げれるのでしょうか?

 f(z) = \sin(\pi z) = (\pi z) \prod_{n=1}^\infty (1 - z^2/n^2)
に対しては,

  f'(z)/f(z)
   = (d/dz)(\log(f(z)))
   = (d/dz)(\log((\pi z) \prod_{n=1}^\infty (1 - z^2/n^2)))
   = (d/dz)(\log(\pi z) + \log(\prod_{n=1}^\infty(1 - z^2/n^2)))
   = (d/dz)(\log(\pi z)) + (d/dz)(\log(\prod_{n=1}^\infty(1 - z^2/n^2)))
   = 1/z + \sum_{n=1}^\infty (- 2z)/(1 - z^2/n^2)
   = 1/z + \sum_{n=1}^\infty 2z/(z^2 - n^2)

となります.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_3__09.jpg
> にてΣ_{n=1}^∞ d/dx ln(1-x^2/n^2)が一様収束する範囲は
> 複素平面全体でいいのでしょうか?

違います. 任意の正数 R について, |z| \leq R で一様収束です.
複素平面全体では *広義* 一様収束です.

> > 任意の自然数 r について,
> > 任意の正数 R について |x| \leq R, x \not\in Z となる範囲で,
> >  \sum_{n \in Z} (1/(x+n)^r + 1/(x-n)^r)
> > は一様収束します.
> 
> どうしてΣ_{n∈Z}d/dx(1/(x+n)^r+1/(x-n)^r)ではなく
> Σ_{n∈Z}(1/(x+n)^r+1/(x-n)^r)の一様収束性を示す事になるのでしょうか?

  (d/dx)(1/(x+n)^r + 1/(x-n)^r)
   = (-r)(1/(x+n)^{r+1} + 1/(x-n)^{r+1})

ですから, r を r+1 に変えたものですね.
 
> Σ_{n∈Z}d/dx(1/(x+n)^r+1/(x-n)^r)の一様収束性を示さねば
> d/dxΣ_{n∈Z}(1/(x+n)^r+1/(x-n)^r)=Σ_{n∈Z}d/dx(1/(x+n)^r+1/(x-n)^r)という変形は
> できませんよね?

ある領域上で,
 *任意の* 自然数 r で \sum_{n \in Z} (1/(x+n)^r + 1/(x-n)^r) が
一様収束するなら, (-r) \sum_{n \in Z} (1/(x+n)^{r+1} + 1/(x-n)^{r+1})
 = \sum_{n \in Z} (d/dx)(1/(x+n)^r + 1/(x-n)^r) の一様収束は
既に示せています.

> > 実際,
> >  \sum_{n \in Z, |n| > R} (1/(x+n)^r + 1/(x-n)^r)
> > が一様収束することを示せば十分ですが,
> 
> どうして「n \in Z, |n| > R」という範囲での一様収束性議論になるのでしょうか?

 |n| \leq R となる n \in Z は有限個であるからです.
有限個の項を除いても, 級数の収束性には影響しません.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp