工繊大の塚本です.

In article <e69ecf92-efa8-4bd1-839e-9c8c248db2d1@l30g2000vbn.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> そうしますと
> cos(πx)/sin(πx)=1/dx lnΠ_{n=1}^∞(1-x^2/n^2)+1/x
> となりますよね?

 1/dx ではなくて, d/dx ですよ.

  \cos(\pi x)/\sin(\pi x)
   = (1/\pi) (d/dx)(\log(\prod_{n=1}^\infty (1-x^2/n^2))) + 1/(\pi x)

です. 

> 『Map(A,C)∋f is continuous at a∈C.
> ⇔　
> for∀{x_n}∈{{x_n}∈2^C;lim_{n→∞}x_n=a}, f(lim_{n→∞}x_n)=lim_{n→∞}f(x_n)』
> という命題を使えばいいのですね。

ちゃんと分かって記号を使っていますか.
 {x_n}_{n=1}^\infty は, 自然数全体 N 上の
複素数 C 値関数であるとするなら, C^N の元でしょう.

ともあれ, f が連続であり, \lim_{n \to \infty} x_n = a であれば,

  \lim_{n \to \infty} f(x_n)
  = \lim_{x \to a} f(x)
  = f(a)
  = f(\lim_{n \to \infty} x_n)

であるのは当たり前です.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/5_3_c.jpg
> ですね。

証明も理解できましたか.
 \S 5.3 (b) も読みましたか.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/5_3_c.jpg
> をどのように利用すればいいのでしょうか?

定理 5.13 の証明には

  \sin(\pi x) = (\pi x) \prod_{n=1}^\infty (1 - x^2/n^2)

の右辺が, 任意の複素数 x について絶対収束し,
任意の正数 R について, |x| \leq R で一様収束である
ことが書かれています. 更に, \S 5.3 (b) の結果から,
それを「項別対数微分」しても良いことが分かっています.
それらを使えば,

  (\sin(\pi x))'/\sin(\pi x)
  = 1/x + \sum_{n=1}^\infty (-2x/n^2)/(1 - x^2/n^2)
  = 1/x + \sum_{n=1}^\infty 2x/(x^2 - n^2)

が成立することは, 定理 5.13 の証明の中にも出て来ます.
少し変形すれば

  = 1/x + \sum_{n=1}^\infty (1/(x+n) + 1/(x-n))

であることも分かります.

> In article <110509193431.M0118174@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > 途中の計算が間違っていて, 正しくは,
> >  - 2 i h_1(t)
> >  = (1/\pi) (d/dx)(\log \prod_{n=1}^\infty (1 - x^2/n^2) + 1/(\pi x)
> >  = (1/\pi) (1/x + \sum_{n=1}^\infty (1/(x+n) + 1/(x-n)))
> >  = (1/(2 \pi)) \sum_{n \in Z} (1/(x+n) + 1/(x-n))
> > です.
> 
> つまり,
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_3__04.jpg
> でいいのですね。

はい.

> = (1/(2 \pi)) \sum_{n \in Z} (1/(x+n) + 1/(x-n))
> ではなくて
> = (1/(2 \pi)) \sum_{n \in Z鐚需0}} (1/(x+n) + 1/(x-n))
> としなくていいのでしょうか?

 1/x = (1/2)(1/(x+0) + 1/(x-0)) だから, ちゃんと
 n = 0 のところは 1/x が埋めます.
 
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_3__05.jpg
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_3__06.jpg
> でいいのですね。

いつの間にか, (1/(x+n) + 1/(x-n)) が
 (1/(x+n) - 1/(x-n)) という間違った式になっているので
駄目です.

> ただΣ_{n∈Z}d/dx(1/(x+n)^r-1/(x-n)^r)が

だから, (1/(x+n)^r + 1/(x-n)^r) です.

> |x|/n<1(?)の範囲で

そんな出鱈目な範囲には意味がありません.

> 一様収束する事はどうすれば示せますでしょうか?

任意の自然数 r について,
任意の正数 R について |x| \leq R, x \not\in Z となる範囲で,

  \sum_{n \in Z} (1/(x+n)^r + 1/(x-n)^r)

は一様収束します. 実際,

  \sum_{n \in Z, |n| > R} (1/(x+n)^r + 1/(x-n)^r)

が一様収束することを示せば十分ですが,
 r = 1 の時は,

  \sum_{n \in Z, |n| > R} |(1/(x+n) + 1/(x-n))|
   = \sum_{n \in Z, |n| > R} |2x|/|x^2 - n^2|
   \leq \sum_{n \in Z, |n| > R} 2R/(n^2 - R^2)

であり, r \geq 2 の時は

  \sum_{n \in Z, |n| > R} |(1/(x+n)^r + 1/(x-n)^r)|
   \leq \sum_{n \in Z, |n| > R} (1/|x+n|^r + 1/|x-n|^r)
   \leq \sum_{n \in Z, |n| > R} 2/(|n|-R)^r

ですから, Weierstrass の優級数判定法により,

  \sum_{n > R} 1/(n^2 - R^2)

や　

  \sum_{n > R} 1/(n-R)^r  (r \geq 2)

の収束から,

  \sum_{n \in Z, |n| > R} (1/(x+n)^r + 1/(x-n)^r)

の一様収束は導かれます.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp