ご回答誠に有難うございます。

>> (3.7)式 sin(πx)/(πx)=Π_{n=1}^∞ (1-x^2/n^2)に 1/πd/dx ln()を施してたのですが
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_3__00.jpg
>> のように
>> 1/πcos(πx)/sin(πx)=1/π 1/dx lnΠ_{n=1}^∞(1-x^2/n^2)+1/(πx)
>> から
>> 1/πcos(πx)/sin(πx)=1/π 1/dx lnΠ_{n=1}^∞(1-x^2/n^2)
>> に変形できるのでしょうか?
> 出来ません. 1/(\pi x) は残しておきましょう.

そうしますと
cos(πx)/sin(πx)=1/dx lnΠ_{n=1}^∞(1-x^2/n^2)+1/x
となりますよね?

>> それから
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_3__01.jpg
>> のように
>> 1/(2iπ) d/dx ln lim_{k→∞}Π_{n=1}^k(1-x^2/n^2)
>> から
>> 1/(2iπ) d/dx lim_{k→∞}lnΠ_{n=1}^k(1-x^2/n^2)
>> という風にlnをlimの内側に入れれるのは何故なのでしょうか?
> \log は連続関数であるからです.

ありがとうございます。
『Map(A,C)∋f is continuous at a∈C.
⇔
for∀{x_n}∈{{x_n}∈2^C;lim_{n→∞}x_n=a}, f(lim_{n→∞}x_n)=lim_{n→∞}f(x_n)』
という命題を使えばいいのですね。

>> あと
>> 1/(2iπ) d/dx Σ_{n=1}^∞ ln(1-x^2/n^2)
>> から
>> 1/(2iπ) Σ_{n=1}^∞ d/dx ln(1-x^2/n^2)
>> の変形はΣ_{n=1}^∞ d/dx ln(1-x^2/n^2)が|x|/n<1(?)で
>> 一様収束するから項別微分できるのだと思いますが
>> どのようにして|x|/n<1(?)で一様収束を示せますでしょうか?
> そこに岩波講座『現代数学への入門』「複素関数入門」\S 5.3 (c) 参照
> と書いてありますね. \S 5.3 (b) と併せて読むと,

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/5_3_c.jpg
ですね。

> 任意の正数 R について, |x| \leq R で絶対収束するし,
> 一様収束でもあり, 正則な関数で, 対数微分に関する
> 項別微分の公式が成立することが分かります.
> # 結局は Weierstrass の優級数判定法です.

すいません。
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/5_3_c.jpg
をどのように利用すればいいのでしょうか?

> 途中の計算が間違っていて, 正しくは,
>  - 2 i h_1(t)
>  = (1/\pi) (d/dx)(\log \prod_{n=1}^\infty (1 - x^2/n^2) + 1/(\pi x)
>  = (1/\pi) (1/x + \sum_{n=1}^\infty (1/(x+n) + 1/(x-n)))
>  = (1/(2 \pi)) \sum_{n \in Z} (1/(x+n) + 1/(x-n))
> です.

つまり,
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_3__04.jpg
でいいのですね。

= (1/(2 \pi)) \sum_{n \in Z} (1/(x+n) + 1/(x-n))
ではなくて
= (1/(2 \pi)) \sum_{n \in Z＼{0}} (1/(x+n) + 1/(x-n))
としなくていいのでしょうか?

>> 最後に
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_3__03.jpg
>> についてですが最後から3行目の式を
>> h_1(t)=(r-1)!(-1/(2πi))^r Σ_{n∈Z}1/(x+n)^r
>> とどうして変形できるのでしょうか
> 左辺は h_r(t) ですね. h_r(t) は元々
> (t (d/dt))^{r-1} (h_1(t)) で定義されていたのですから,
> t (d/dt) = \exp(2 \pi i x) (dt/dx)^{-1} (d/dx)
> = (1/(2 \pi i)) (d/dx) に注意すれば,
>  h_r(t) = (t (d/dt))^{r-1} (h_1(t))
>  = (1/(2 \pi i))^{r-1} (-1/(2 i)) (1/(2 \pi))
>    \times (d/dx)^{r-1} \sum_{n \in Z} (1/(x+n) + 1/(x-n))
>  = (-1/2) (1/(2 \pi i))^r (r-1)! (-1)^{r-1}
>    \times \sum_{n \in Z} (1/(x+n)^r + 1/(x-n)^r)

そうですね。

> となります. r \geq 2 であれば,
> \sum_{n \in Z} 1/(x + n)^r = \sum_{n \in Z} 1/(x - n)^r
> はそれぞれ収束して等しいわけですから,

これもそうですね。

>  = (r-1)! (-1/(2 \pi i))^r \sum_{n \in Z} 1/(x + n)^r
> とすることができます.

納得です。
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_3__05.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_3__06.jpg
でいいのですね。

ただΣ_{n∈Z}d/dx(1/(x+n)^r-1/(x-n)^r)が|x|/n<1(?)の範囲で一様収束する事はどうすれば示せますでしょう
か?