ご回答誠に有難うございます。

>>> [0.6] は一体何ですか.
>> "a=n and b=n+1…[0.5]の時, f(n)=a-[a]-b+[b]…[0.6]になる"という意味でした。 
>> 
> a も b も整数なら a = \lfloor a \rfloor, b = \lfloor b \rfloor だから
> [0.6] では f(n) = 0 を主張したことになりますね. 本気ですか.

すいません。これは完全にNGでした。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__09.jpg
>> となったのですがどうすれば,
>> (b - n - 1/2) f(b) - (a - n - 1/2) f(a) - ∫_a^b f(x) dxから
>> (b - [b] - 1/2) f(b) - (a - [a] - 1/2) f(a) - ∫_a^b f(x) dxが導ける
>> のでしょうか?
> b < n+1 でなければ導けませんよ.
> 導けても [Prop214] は間違っていますよ.
> ちゃんと <130319211800.M0111944@ras1.kit.ac.jp> を
> 読みましたか.

は、はい。。

>>> Riemann 積分で, 1 点だけで関数の値を変えたとき,
>>> 積分の値が変化すると思うのですか.
>> それはそうですが,,,定積分の定義では積分範囲は常に閉区間になっているので,
>> 記号的にすっきりませんでした。
> 記号的には何も問題がないという話をしています.

了解です。

>> それで
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_improper_integral__00.jpg
>> という具合に広義積分を定義しましたので
>> ∫_{[a,b],a→b}f(x)dxは収束し,lim_{a'→a+0,b'→b-0}∫_{[a',b'],a'→b'}f(x)dx 
>> 
>> ∫_{[a,b],a→b}f(x)dx=lim_{a'→a+0,b'→b-0}∫_{[a',b'],a'→b'}f(x)dxと書けるので
>> ∫_{(a,b),a→b}f(x)dx:=lim_{a'→a+0,b'→b-0}∫_{[a',b'],a'→b'}f(x)dxという具合に
>> 開区間での定積分を定義すればいいのですね。
> 今の話には不必要なことです.

これも了解です。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop215__03.pdf
>> と上手くいきました。
> 波線内の証明の最初の式の N-1 は N が正しい.
> x - \lfloor x \rfloor - 1/2 が 積分範囲に於いて differentiable
> のところの前の方の範囲は [M, b] でなく [N-1, a].

そうでした。大変有難うございます。お陰様で漸く[Prop215]が解決できました。

>> これは[Prop214]を全く使用してませんがこれでもいいのですよね。
> 貴方の [Prop214] は間違っていますから, 使用してはいけません.

了解です。

>> 所で,
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__07.jpg
>> の題意を改めて見て,気づいたのですが,a:=1,b:=3とすれば
>> 明らかにして,n≦a<b≦n+1なるn∈Nは存在しないので,
>> この命題は明らかに偽だと思うのですがいかがでしょうか?
> 何回も言いますが,  [Prop214] は間違っているので, 言うだけ無駄ですが,
> ある整数 n について n \leq a < b \leq n+1 となる a, b については
> これこれが成立する, という型の命題を述べようとしているのですから,
> # そうでなければ意味がありません.

そうでした。
すみません。大変混乱しております。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__11.pdf
という具合にシンプルに書き直したのですが,末行からどうやって先に進めばいいのでしょうか?
それとも,未だ勘違いしておりますでしょうか?

> a = 1, b = 3 であれば, その前提が成立しないというだけであり,
> 従って「これこれが成立する」が何であってもその命題は真です.
> むしろ a = 1, b = 3 の時には明らかに真だと思うのが正しい.

そうでした。含意の定義(真理表)からそのようになりますね。