ご回答誠に有難うございます。
かなり混乱しております。

>>> [Prop214] の左辺, "\sum_{n \leq a < b \leq n+1} f(n)" というのは
>>> misleading です. a も b も整数であるとしているのではないですか.
>> そうでした。a,bは実数でした。
> いや, a, b が実数の場合ではなく, a, b が整数の場合から
> 出発する方が分かりやすい筈です.

そうなのですか。

>>> a = n, b = n + 1 のとき, 部分積分から,
>>>  \int_n^{n+1} f(x) dx
>>>   = \int_n^{n+1} (x - n - 1/2)' f(x) dx
>>>   = [(x - n - 1/2) f(x)]_n^{n+1} - \int_n^{n+1} (x - n - 1/2) f'(x) dx
>>>   = (1/2) f(n+1) - (-1/2) f(n) - \int_n^{n+1} (x - n - 1/2) f'(x) dx
>>>   = (1/2) f(n+1) - (1/2) f(n) + f(n) - \int_n^{n+1} (x - n - 1/2) f'(x)
>>> dx
>>> が得られますが,
>> 了解です。
>>> 移項して,
>> すみません。どの式を移項するのですか?
> 次の式を見れば, f(n) を左辺に, 残りの項が全て右辺に来るように
> 移項するのが分かる筈です.

すいません。ここも混乱しております。これは
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__00.pdf
でのどの箇所について述べられてるのでしょうか?

>>> a \leq x < b なる x については
>>> \lfloor x \rfloor = n に注意して,

これは
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__00.pdf
の題意の事ですね。 題意ではn≦a<b≦n+1と仮定してあるので,
a≦x<bなるxについては確かに[x]=nとなりますね。

>>>  f(n)
>>>    = \int_n^{n+1} f(x) dx
>>>      + \int_n^{n+1} (x - n - 1/2) f'(x)
>>>      - (1/2) f(n+1) + (1/2) f(n)
>>>    = \int_a^b f(x) dx
>>>      + \int_a^b (x - \lfloor x \rlfoor - 1/2) f'(x) dx
>>>      + (b - \lfloor b \rfloor - 1/2) f(b)
>>>      - (a - \lfloor a \rfloor - 1/2) f(a)
>>> となります.

これも
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__00.pdf
の1ページの4行目のf(n)はずっと計算していくと,3ページ目の3行目は
(b-n-1/2)f(b)-(a-n-1/2)f(a)-∫_a^nf(x)dxとなるのではなくて,
∫_a^b f(x) dx
+∫_a^b (x - [x] - 1/2) f'(x) dx
+ (b - [b] - 1/2) f(b)
- (a - [a] - 1/2) f(a)
となると仰るのですね。
そうしますと,1ページ目の4行目からの計算は何処を訂正すれば
∫_a^b f(x) dx
+∫_a^b (x - [x] - 1/2) f'(x) dx
+ (b - [b] - 1/2) f(b)
- (a - [a] - 1/2) f(a)
に辿り着けるのでしょうか?

>> いまいち,よくわからないので題意も訂正致しました。
>> この題意の解釈で間違ってないでしょうか?
> 最初から a, b を実数として,
> n \leq a < b \leq n+1 の時に考えるとしましょう.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__00.pdf
を(i)と(ii)に分けずに一遍に証明してしまおうと言う訳ですね。

> n \leq x < n+1 では \lfloor x \rfloor = n であり,
>  \int_a^b (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
>   = \int_a^b (x - n - 1/2) f'(x) dx
> が成立しますから,
>  \int_a^b (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
>   = \int_a^b (x - n - 1/2) f'(x) dx
>   = (b - n - 1/2) f(b) - (a - n - 1/2) f(a) - \int_a^b f(x) dx
> を示すには, 単に部分積分を実行すれば済むことです.

仰る通りです。お蔭様で
(b-n-1/2)f(b)-(a-n-1/2)f(a)-∫_a^bf(x)dx
を得る事が出来ました。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__00.pdf
>> となってしまい,
> 勿論, 貴方の [Prop214] は右辺が間違っています.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__05.jpg
とという具合に[Prop214]の両辺も書き換えたのですがこれででもいいでしょうか?

あと,[Prop213]を追加したのですが,[Prop213]と[Prop214]でどうしてC^∞級である必要があるのでしょうか?

> 正しくすれば, (i), (ii) と分けることもない.

それは迚も有難いです。
一体どのようにするのでしょうか?

>> (b-n-1/2)f(b)-(a-n-1/2)f(a)-瘋・a^bf(x)dx
>> に辿り着けません。
>> 何処を勘違いしておりますでしょうか?
> 上のようにすれば辿り着いていますね.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__05.jpg
部分積分法を使えばいいのですね。

> いずれ [0.6] というのは意味不明です.
> [Prop214] で a = n, b = n+1 とすれば,
>  \int_n^{n+1} (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
>   = (n+1 - n - 1/2) f(n+1) - (n - n - 1/2) f(n) - \int_n^{n+1} f(x) dx
>   = (1/2) f(n+1) + (1/2) f(n) - \int_n^{n+1} f(x) dx
>   = f(n+1) - (1/2) f(n+1) + (1/2) f(n) - \int_n^{n+1} f(x) dx
> ですから,
> f(n+1) = (1/2)(f(n+1) - f(n)) + \int_n^{n+1} f(x) dx
>          + \int_n^{n+1} (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
> としてみましょうか.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__07.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__08.jpg
となりましたが∫_n^{n+1}(x-[x]-1/2)d/dx f(x) dxが
∫_n^{n+1}(x-n-1/2)d/dx f(x) dxと書ける理由をキチンと述べたくて,
lim_{(0,1)∋ε→-0}∫_n^{n+1-ε}(x-n-1/2)d/dx f(x) dx
と広義積分に変形致しましたが,F(x)がx=n+1にて連続である理由が言えないので
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__07.jpg
の下から3行目から下から2行目のかけての変形はどうすれば言えるでのでしょうか?

あと,
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__08.jpg
にて末行はどうすれば導けるのでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop215__00.pdf
>> としてみました。
> [Prop214] が間違っていることは既に述べました.
>> 2ページ目の下から9行目から具体的な証明が始まってます。
>> Σ_{a<n≦b,n∈Z}f(n)=Σ_{N≦n≦M,N,n,M∈Z}f(n)
>> と変形できるのは何故でしょうか?
> N-1 \leq a < N \leq M \leq b < M+1 となる整数 N, M が取れる
> ことは分かりましたか.

はい、今,題意はΣ_{a<n≦b,n∈Z}だから
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop215__01.pdf
の(i)と(ii)のようなケースが考えられるという訳ですね。

> # <130123202955.M0112133@ras2.kit.ac.jp> では
> # N-1 \leq a < N < M \leq b < M+1 としていましたが,
> # N = M でも構わないので,
> # N-1 \leq a < N \leq M \leq b < M+1 と訂正しておきます.
> このとき, a < n \leq b となる整数 n は
> N \leq n \leq M を満たす整数であることは分かりますか.

はい,分かります。

> それが分かれば,
>  \sum_{a < n \leq b} f(n)
>   = \sum_{N \leq n \leq M} f(n)
>   = \sum_{N-1 \leq n \leq M-1} f(n+1)
> であることも分かるでしょう.

はい,分かりました。落ち着いて考えれば単純な話でした。

>> そして2ページ目の下から7行目にて,
>> Σ_{N≦n≦M,N,n,M∈Z}f(n)
>>  =∫_{N-1}^Mf(x)dx+∫_{N-1}^M(x-[x]-1/2)f'(x)dx-f(M)/2+f(N-1)/2
>> と変形できるのは何故なのでしょうか?
>  \sum_{N-1 \leq n \leq M-1} f(n+1)
>   = \sum_{N-1 \leq n \leq M-1}
>      ( (1/2)(f(n+1) - f(n)) + \int_n^{n+1} f(x) dx
>          + \int_n^{n+1} (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx )
>   = (1/2) \sum_{N-1 \leq n \leq M-1} (f(n+1) - f(n))
>     + \sum_{N-1 \leq n \leq M-1} (\int_n^{n+1} f(x) dx)
>     + \sum_{N-1 \leq n \leq M-1}
>        ( \int_n^{n+1} (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx )
>   = (1/2) (f(M) - f(N-1)) + \int_{N-1}^M f(x) dx
>     + \int_{N-1}^M (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx

有難うございます。　お蔭様で上手くいきました。

> となります. 貴方の式は f(M) - f(N-1) の所の符号が間違っています.
> なお,
>  \int_{N-1}^M f(x) dx
>   = \sum_{N-1 \leq n \leq M-1} f(n+1) - (1/2) (f(M) - f(N-1))
>     - \int_{N-1}^M (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
> であることに注意しておきましょう.

了解です。

>> そして1ページ目の上から7行目から2ページ目の上から7行目にかけての
>> ∫_a^bf(x)dx=∫_{N-1}^Mf(x)dx+(b-[b]-1/2)f(b)-f(M)/2 -∫_M^b(x-[x]-1/2)f'(x)dx
>>              -(a-[a]-1/2)f(a)-f(N-1)/2+瘋・{N-1}^a(x-[x]-1/2)f'(x)dx
>> という等式は何処で利用するのでしょうか?
> それの前に,
>> そこで1ページ目の上から7行目の
>> ∫_a^bf(x)dx=∫_{N-1}^Mf(x)dx+∫_M^bf(x)dx-∫_{N-1}^af(x)dx
> この式変形ができないようでは困ります.

この変形は無事出来ました。どうもお騒がせ致しました。
取り敢えず
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop215__02.pdf
となったのですが2ページ目の上から6,7行目にてf(M)-f(N-1)が消去できるのはどうしてでしょうか?

>  \int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx
> がどんな c についても成立しますから,

c<aやb<cの場合に就いてでも成立しますね。

> c = N-1 とすれば,
>  \int_a^b f(x) dx
>   = \int_a^{N-1} f(x) dx + \int_{N-1}^b f(x) dx
>   = - \int_{N-1}^a f(x) dx + \int_{N-1}^b f(x) dx
>   = - \int_{N-1}^a f(x) dx + \int_{N-1}^M f(x) dx + \int_M^b f(x) dx
> となります.

了解です。

>> と1ページ目の末行から2ページ目の上から2行目にかけての式変形は
>> どうして出来るのでしょうか?
> 貴方の式変形など知ったことではありません.
> 整数 K と実数 p, q について K \leq p < q \leq K+1 であるとき,
>  \int_p^q (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
>   = (q - K - 1/2) f(q) - (p - K - 1/2) f(p) - \int_p^q f(x) dx
> となることが分かっています.

[Prop214]の事ですね。

> K = N-1, p = N-1, q = a として,

ええと、
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__07.jpg
にて,n:=N-1,a:=N-1,b:=a(即ち,N-1≦N-1<a≦N)と採るのですね。

>  \int_{N-1}^a (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
>   = (a - (N-1) - 1/2) f(a) - ((N-1) - (N-1) - 1/2) f(N-1)
>      - \int_{N-1}^a f(x) dx
>   = (a - \lfloor a \rfloor - 1/2) f(a) + (1/2) f(N-1) - \int_{N-1}^a f(x)
> dx
> となりますから,

ここで
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__05.jpg
の[Prop213]のn≦a<b≦n+1の箇所も
N-1≦N-1<a≦Nと見立てれば
∫_{N-1}^a (x-(N-1)-1/2) f'(x) 
dx=(a-[a]-1/2)f(a)-(N-1-(N-1)-1/2)f(N-1)-∫_{N-1}^a f(x)dx,
つまり,
∫_{N-1}^a (x-(N-1)-1/2) f'(x) dx=(a-[a]-1/2)f(a)+1/2f(N-1)-∫_{N-1}^a 
f(x)dx
が導けて,
∫_{N-1}^a (x-[x]-1/2) f'(x) dx=(a-[a]-1/2)f(a)+1/2f(N-1)-∫_{N-1}^a f(x)dx
と書き直せますね(ここでa=Nの時は積分範囲は[N-1,N]となるので(N-1)の箇所を[x]と書き直していいのか疑問が残りますが)。

>  - \int_{N-1}^a f(x) dx
>   = - (a - \lfloor a \rfloor - 1/2) f(a) - (1/2) f(N-1)
>     + \int_{N-1}^a (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
> となります.

これは
∫_{N-1}^a (x-[x]-1/2) f'(x) dx=(a-[a]-1/2)f(a)+1/2f(N-1)-∫_{N-1}^a f(x)dx
を移項しただけですね。

> また, K = M, p = M, q = b として,
>  \int_{M}^b (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
>   = (b - M - 1/2) f(b) - (M - M - 1/2) f(M) - \int_M^b f(x) dx
>   = (b - \lfloor b \rfloor - 1/2) f(b) + (1/2) f(M) - \int_M^b f(x) dx
> となりますから,

再度
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__05.jpg
の[Prop213]にてn:=M,a:=M,b:=b(即ち,M≦M<b≦M+1)と見立てれば
∫_M^b (x-M-1/2)f'(x) dx
=(b-[b]-1/2)f(b)+(1/2)f(M)-∫_M^b f(x) dx
が導けて,
∫_M^b (x-[x]-1/2)f'(x) dx
=(b-[b]-1/2)f(b)+(1/2)f(M)-∫_M^b f(x) dx
と成りますね(ここでもb=M+1の時は積分範囲は[M,M+1]となるので(M)の箇所を[x]と書き直していいのか疑問が残りますが)。。

>  \int_M^b f(x) dx
>   = (b - \lfloor b \rfloor - 1/2) f(b) + (1/2) f(M)
>     - \int_{M}^b (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
> となります.

これも
∫_M^b (x-[x]-1/2)f'(x) dx
=(b-[b]-1/2)f(b)+(1/2)f(M)-∫_M^b f(x) dx
を移項しただけですね。

> 従って,
>  \int_a^b f(x) dx
>   = - \int_{N-1}^a f(x) dx + \int_{N-1}^M f(x) dx + \int_M^b f(x) dx
>   = (- (a - \lfloor a \rfloor - 1/2) f(a) - (1/2) f(N-1)
>      + \int_{N-1}^a (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx)
>     + (\sum_{N-1 \leq n \leq M-1} f(n+1) - (1/2) (f(M) - f(N-1))
>        - \int_{N-1}^M (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx)
>     + ((b - \lfloor b \rfloor - 1/2) f(a) + (1/2) f(M)
>        - \int_{M}^b (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx)
>   = \sum_{N-1 \leq n \leq M-1} f(n+1)
>     + (b - \lfloor b \rfloor - 1/2) f(b)
>     - (a - \lfloor a \rfloor - 1/2) f(a)
>     + \int_{N-1}^a (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
>     - \int_{N-1}^M (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
>     - \int_{M}^b (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
>   = \sum_{a < n \leq M} f(n)
>     + (b - \lfloor b \rfloor - 1/2) f(b)
>     - (a - \lfloor a \rfloor - 1/2) f(a)
>     - \int_a^b (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
> となるわけです.

了解です。
∫_a^b f(x) dx
=Σ_{a < n ≦M} f(n)
+ (b - [b] - 1/2) f(b)
- (a - [a] - 1/2) f(a)
- \int_a^b (x - [x] - 1/2) f'(x) dx
という等式が成り立つわけですね。

ここでも申し訳ありません。これは
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop215__02.pdf
の何処で使用するのでしょうか?

>> 更にProp215の証明の中でProp214は何処で利用すればいいのでしょうか?
> 正しくすれば, 上のように利用できます.

なるほどです。

>> Prop215にて
>> N-1≦a<N≦b<N+1の場合は,(2.15)の等式はどのように証明していけばいいのでしょうか?
> 私が与えたものでは N = M でも同じことです.

今,N-1≦a<N≦M≦b<M+1の場合について証明しましたので仰る通り,M:=Nと採ればいいのですね。