Re: Euler-Maclaurinの和のの公式の証明

工繊大の塚本です.

In article <kekee4$m90$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <130123181153.M0129078@ras2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > [Prop214] の左辺, "\sum_{n \leq a < b \leq n+1} f(n)" というのは
> > misleading です. a も b も整数であるとしているのではないですか.
> 
> そうでした。a,bは実数でした。

いや, a, b が実数の場合ではなく, a, b が整数の場合から
出発する方が分かりやすい筈です.

> > a = n, b = n + 1 のとき, 部分積分から,
> >  \int_n^{n+1} f(x) dx
> >   = \int_n^{n+1} (x - n - 1/2)' f(x) dx
> >   = [(x - n - 1/2) f(x)]_n^{n+1} - \int_n^{n+1} (x - n - 1/2) f'(x) dx
> >   = (1/2) f(n+1) - (-1/2) f(n) - \int_n^{n+1} (x - n - 1/2) f'(x) dx
> >   = (1/2) f(n+1) - (1/2) f(n) + f(n) - \int_n^{n+1} (x - n - 1/2) f'(x) dx
> > が得られますが,
> 
> 了解です。
> 
> > 移項して,
> 
> すみません。どの式を移項するのですか?

次の式を見れば, f(n) を左辺に, 残りの項が全て右辺に来るように
移項するのが分かる筈です.

> > a \leq x < b なる x については
> > \lfloor x \rfloor = n に注意して,
> >  f(n)
> >    = \int_n^{n+1} f(x) dx
> >      + \int_n^{n+1} (x - n - 1/2) f'(x)
> >      - (1/2) f(n+1) + (1/2) f(n)
> >    = \int_a^b f(x) dx
> >      + \int_a^b (x - \lfloor x \rlfoor - 1/2) f'(x) dx
> >      + (b - \lfloor b \rfloor - 1/2) f(b)
> >      - (a - \lfloor a \rfloor - 1/2) f(a)
> > となります.
> 
> いまいち,よくわからないので題意も訂正致しました。
> この題意の解釈で間違ってないでしょうか?

最初から a, b を実数として,
 n \leq a < b \leq n+1 の時に考えるとしましょう.
 n \leq x < n+1 では \lfloor x \rfloor = n であり,

  \int_a^b (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
   = \int_a^b (x - n - 1/2) f'(x) dx

が成立しますから,

  \int_a^b (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
   = \int_a^b (x - n - 1/2) f'(x) dx
   = (b - n - 1/2) f(b) - (a - n - 1/2) f(a) - \int_a^b f(x) dx

を示すには, 単に部分積分を実行すれば済むことです.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__00.pdf
> となってしまい,

勿論, 貴方の [Prop214] は右辺が間違っています.
正しくすれば, (i), (ii) と分けることもない.

> (b-n-1/2)f(b)-(a-n-1/2)f(a)-\xE2^Ĥa^bf(x)dx
> に辿り着けません。
> 何処を勘違いしておりますでしょうか?

上のようにすれば辿り着いていますね.
いずれ [0.6] というのは意味不明です.

 [Prop214] で a = n, b = n+1 とすれば,

  \int_n^{n+1} (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
   = (n+1 - n - 1/2) f(n+1) - (n - n - 1/2) f(n) - \int_n^{n+1} f(x) dx
   = (1/2) f(n+1) + (1/2) f(n) - \int_n^{n+1} f(x) dx
   = f(n+1) - (1/2) f(n+1) + (1/2) f(n) - \int_n^{n+1} f(x) dx

ですから,

 f(n+1) = (1/2)(f(n+1) - f(n)) + \int_n^{n+1} f(x) dx
          + \int_n^{n+1} (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx

としてみましょうか.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop215__00.pdf
> としてみました。

 [Prop214] が間違っていることは既に述べました.

> 2ページ目の下から9行目から具体的な証明が始まってます。
> Σ_{a<n≦b,n∈Z}f(n)=Σ_{N≦n≦M,N,n,M∈Z}f(n)
> と変形できるのは何故でしょうか?

 N-1 \leq a < N \leq M \leq b < M+1 となる整数 N, M が取れる
ことは分かりましたか.
# <130123202955.M0112133@ras2.kit.ac.jp> では
# N-1 \leq a < N < M \leq b < M+1 としていましたが,
# N = M でも構わないので,
# N-1 \leq a < N \leq M \leq b < M+1 と訂正しておきます.

このとき, a < n \leq b となる整数 n は
 N \leq n \leq M を満たす整数であることは分かりますか.
それが分かれば,

  \sum_{a < n \leq b} f(n)
   = \sum_{N \leq n \leq M} f(n)
   = \sum_{N-1 \leq n \leq M-1} f(n+1)

であることも分かるでしょう.

> そして2ページ目の下から7行目にて,
> Σ_{N≦n≦M,N,n,M∈Z}f(n)
>  =∫_{N-1}^Mf(x)dx+∫_{N-1}^M(x-[x]-1/2)f'(x)dx-f(M)/2+f(N-1)/2
> と変形できるのは何故なのでしょうか?

  \sum_{N-1 \leq n \leq M-1} f(n+1)
   = \sum_{N-1 \leq n \leq M-1}
      ( (1/2)(f(n+1) - f(n)) + \int_n^{n+1} f(x) dx
          + \int_n^{n+1} (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx )
   = (1/2) \sum_{N-1 \leq n \leq M-1} (f(n+1) - f(n))
     + \sum_{N-1 \leq n \leq M-1} (\int_n^{n+1} f(x) dx)
     + \sum_{N-1 \leq n \leq M-1}
        ( \int_n^{n+1} (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx )
   = (1/2) (f(M) - f(N-1)) + \int_{N-1}^M f(x) dx
     + \int_{N-1}^M (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx

となります. 貴方の式は f(M) - f(N-1) の所の符号が間違っています.
なお,

  \int_{N-1}^M f(x) dx
   = \sum_{N-1 \leq n \leq M-1} f(n+1) - (1/2) (f(M) - f(N-1))
     - \int_{N-1}^M (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
 
であることに注意しておきましょう.

> そして1ページ目の上から7行目から2ページ目の上から7行目にかけての
> ∫_a^bf(x)dx=∫_{N-1}^Mf(x)dx+(b-[b]-1/2)f(b)-f(M)/2 -∫_M^b(x-[x]-1/2)f'(x)dx
>              -(a-[a]-1/2)f(a)-f(N-1)/2+\xE2^Ĥ{N-1}^a(x-[x]-1/2)f'(x)dx 
> 
> という等式は何処で利用するのでしょうか?

それの前に,

> そこで1ページ目の上から7行目の
> ∫_a^bf(x)dx=∫_{N-1}^Mf(x)dx+∫_M^bf(x)dx-∫_{N-1}^af(x)dx

この式変形ができないようでは困ります.

  \int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx

がどんな c についても成立しますから, c = N-1 とすれば,

  \int_a^b f(x) dx
   = \int_a^{N-1} f(x) dx + \int_{N-1}^b f(x) dx
   = - \int_{N-1}^a f(x) dx + \int_{N-1}^b f(x) dx
   = - \int_{N-1}^a f(x) dx + \int_{N-1}^M f(x) dx + \int_M^b f(x) dx

となります.

> と1ページ目の末行から2ページ目の上から2行目にかけての式変形は
> どうして出来るのでしょうか?

貴方の式変形など知ったことではありません.
整数 K と実数 p, q について K \leq p < q \leq K+1 であるとき,

  \int_p^q (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
   = (q - K - 1/2) f(q) - (p - K - 1/2) f(p) - \int_p^q f(x) dx

となることが分かっています.
 K = N-1, p = N-1, q = a として,

  \int_{N-1}^a (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
   = (a - (N-1) - 1/2) f(a) - ((N-1) - (N-1) - 1/2) f(N-1)
      - \int_{N-1}^a f(x) dx
   = (a - \lfloor a \rfloor - 1/2) f(a) + (1/2) f(N-1) - \int_{N-1}^a f(x) dx

となりますから,

  - \int_{N-1}^a f(x) dx
   = - (a - \lfloor a \rfloor - 1/2) f(a) - (1/2) f(N-1)
     + \int_{N-1}^a (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx

となります. また,
 K = M, p = M, q = b として,

  \int_{M}^b (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
   = (b - M - 1/2) f(b) - (M - M - 1/2) f(M) - \int_M^b f(x) dx
   = (b - \lfloor b \rfloor - 1/2) f(b) + (1/2) f(M) - \int_M^b f(x) dx

となりますから,

  \int_M^b f(x) dx
   = (b - \lfloor b \rfloor - 1/2) f(b) + (1/2) f(M)
     - \int_{M}^b (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx

となります. 従って,

  \int_a^b f(x) dx
   = - \int_{N-1}^a f(x) dx + \int_{N-1}^M f(x) dx + \int_M^b f(x) dx
   = (- (a - \lfloor a \rfloor - 1/2) f(a) - (1/2) f(N-1)
      + \int_{N-1}^a (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx)
     + (\sum_{N-1 \leq n \leq M-1} f(n+1) - (1/2) (f(M) - f(N-1))
        - \int_{N-1}^M (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx)
     + ((b - \lfloor b \rfloor - 1/2) f(a) + (1/2) f(M)
        - \int_{M}^b (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx)
   = \sum_{N-1 \leq n \leq M-1} f(n+1)
     + (b - \lfloor b \rfloor - 1/2) f(b)
     - (a - \lfloor a \rfloor - 1/2) f(a)
     + \int_{N-1}^a (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
     - \int_{N-1}^M (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
     - \int_{M}^b (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
   = \sum_{a < n \leq M} f(n)
     + (b - \lfloor b \rfloor - 1/2) f(b)
     - (a - \lfloor a \rfloor - 1/2) f(a)
     - \int_a^b (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx

となるわけです.

> 更にProp215の証明の中でProp214は何処で利用すればいいのでしょうか? 

正しくすれば, 上のように利用できます.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp