工繊大の塚本と申します.

In article <kdjrm8$7m5$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__00.jpg
> のProp215を示すべく,Prop214を示したいのですが
> どのようにして証明できますでしょうか?

 [Prop214] の左辺, "\sum_{n \leq a < b \leq n+1} f(n)" というのは
 misleading です. a も b も整数であるとしているのではないですか.
 a = n, b = n + 1 のとき, 部分積分から,

  \int_n^{n+1} f(x) dx
   = \int_n^{n+1} (x - n - 1/2)' f(x) dx
   = [(x - n - 1/2) f(x)]_n^{n+1} - \int_n^{n+1} (x - n - 1/2) f'(x) dx
   = (1/2) f(n+1) - (-1/2) f(n) - \int_n^{n+1} (x - n - 1/2) f'(x) dx
   = (1/2) f(n+1) - (1/2) f(n) + f(n) - \int_n^{n+1} (x - n - 1/2) f'(x) dx

が得られますが, 移項して, a \leq x < b なる x については
 \lfloor x \rfloor = n に注意して,

  f(n)
    = \int_n^{n+1} f(x) dx
      + \int_n^{n+1} (x - n - 1/2) f'(x)
      - (1/2) f(n+1) + (1/2) f(n)
    = \int_a^b f(x) dx
      + \int_a^b (x - \lfloor x \rlfoor - 1/2) f'(x) dx
      + (b - \lfloor b \rfloor - 1/2) f(b)
      - (a - \lfloor a \rfloor - 1/2) f(a)

となります.
 a - \lfloor a \rfloor = 0, b - \lfloor b \rfloor = 0
を使って書きなおすことは, ここでは意味はないでしょうけれども.
なお, [Prop214] の右辺の最後二項は符号が違います.

そうすると, 一般に a < b となる整数 a, b について,

  \sum_{a \leq n < b} f(n)
   = \sum_{a \leq n < b} \int_n^{n+1} f(x) dx
     + \sum_{a \leq n < b} \int_n^{n+1} (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
     - \sum_{a \leq n < b} (1/2) (f(n+1) - f(n))
   = \int_a^b f(x) dx
     + \int_a^b (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
     - (1/2) (f(b) - f(a))

が成立することになります. 両辺に - f(a) + f(b) を加えれば,

  \sum_{a < n \leq b} f(n)
   = \int_a^b f(x) dx
     + \int_a^b (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
     + (1/2) (f(b) - f(a))

となりますから, [Prop215] 自体はそのまま成立します.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp