ご回答誠に有難うございます。

>> 再訂正致しました。
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_12015__04.jpg
>> これならいかがでしょうか?
> \lim_{n \to \infty} |a_n|^{1/n} が有限の正の実数でも
> 0 でも正の無限大でもなくて, 極限が存在しない場合がある,
> ということを先の例で示したのです.
> そのことを無視した証明は, 中味を見るまでもなく, 無意味です.

おっとこれは大変失礼いたしました。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_12015__05.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_12015__06.jpg
と(iii)にて振動の場合も考慮してみました。これなら如何でしょうか?