ご回答誠に有難うございます。

>>> \lim_{k \to \infty} sup_{n \geq k} |a_n|^{1/n}
>>> が \lim_{k \to infty} sup_{n \geq k} |a_{n+1}|^{1/n} と
>>> 等しくなることは直ぐには分かりません. 直ぐに分かるのは
>>>  \lim_{k \to \infty} sup_{n \geq k} |a_{n+1}|^{1/(n+1)}
>>> と等しくなることとかでしょう.
>> それはそうですが。
> それなら, そこで証明は破綻しているということです.
>> 何処からインチキしてますでしょうか?
> そこからです.

具体的に何行目からでしょうか?　各行チェックしてみましたがおかしいところは見当たりませんでした。