ご回答誠に有難うございます。

>> [1]を単純に式変形したものが[4]なので
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_12015__00.jpg
>> の上から7行目から証明が始まっているのですが、、
> ああ, A_1 = B_1 と A_2 = B_2 は同値であり,
> A_2 = B_2 と A_3 = B_3 は同値である, とかの議論ですか.

はい。

>> 「[1]⇔[4]」である事はただ表記を書き換えただけなので自明かと思われます。
> \limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}
>  = \limsup_{n \to \infty} (|a_n|^{1/n})^{n/(n-1)}
> が目標であると, 最初から書けば良い.

了解です。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_12015__00.jpg
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_12015__01.jpg
>> の証明の出だし4行は単に証明の方針を述べているだけです。
：
> \ell \leq \sup_{n \geq k} (|a_n|^{1/n})^{n/(n-1)}
> には何の根拠もありませんから,
> 全然証明にはなっていません.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_12015__02.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_12015__03.jpg
と大幅訂正致しました。これなら如何でしょうか?