遅くなりましてすいません。
大変ありがとうございます。


> それは「 V の中で」生成される部分ベクトル空間を考えている
> からです.
> V の部分集合 A により「 V の中で」生成される部分ベクトル空間と
> A の元を自由元として, それで生成されるベクトル空間とは
> 違う概念です.

納得です。


> 別の誤解を生む可能性もありますので注意が必要ですが,
> span(V×W) は, V×W を添字集合とする R の直積集合
> Π_{(v, w) ∈ V×W} R(v, w), つまり,
> V×W から R への(線形とは限らない一般の)写像全体の為す集合,
> というベクトル空間の中の部分ベクトル空間なのです.
> より正確に言うと, その中で, 有限個の (v, w) を除いて
> その係数が 0 になっているもの, 写像で言えば,
> 有限個の (v, w) を除いて, その値が 0 になっているもの,
> 全体の為す部分ベクトル空間です.

Π_{(v, w) ∈ V×W} R(v, w)は
∪{R(v, w);(v,w)∈V×W}と言う意味なのですね。
つまり各(v,w)に対してのR(v, w)という類の和集合。


> Thread 全体を見ていただければ, 10番目となっている
> 11月10日投稿の記事です.

ありがとうございます。
(0,y')modTがV(×)Wの零元として採れる事は分かりました。
再度,本当に零元になっているか確認しているのですが
∀(x,y)modT∈V(×)Wに対して,(0,y')modT+(x,y)modT=((0,y')+(x,y)))modT(∵V(×)Wでの和
の定義)
でこれから =(x,y)modTになってほしいのですが
(x,y)≡(0,y')+(x,y) (mod T)に再度チャレンジしています。
(0,y')+(x,y)-(x,y)=(0,y')+(1-1)(x,y) (∵span(V×W)での和の定義)
=(0,y')+0(x,y)
ここで (0,y')=Σ[i=1...N]a_i(x'_i,y'_i)、(x,y)=Σ[i=1...N]0(x'_i,y'_i)と揃えて表す事
ができ,
(0,y')+0(x,y)=Σ[i=1...N]a_i(x'_i,y'_i)+Σ[i=1...N]0(x'_i,y'_i)=Σ
[i=1...N](a_i+0)(x'_i,y'_i)
=Σ[i=1...N]a_i(x'_i,y'_i)=(0,y').
即ち, (0,y')+(x,y)-(x,y)=(0,y') …①でしかも(0,y')∈(0,y')modT …②
(∵(0,y')-(0,y')=(0,1・y')-(0,y')=(0,1・y')-1・(0,y') (∵span(V×W)は線形空間なので線形
空間の定義(1v=v))
∈T)
①,②より,(0,y')+(x,y)-(x,y)∈modTつまり,(0,y')+(x,y)≡(x,y) (mod T)となる事が示せたので
確かに(0,y')modTはV(×)Wでの零元になっている。

これで大丈夫でしょうか?