ご回答ありがとうございます。



>     (x_1+x_2,y) mod T =(x_1,y)+(x_2,y) mod T
> を示せば良いんですが、
>     ((x_1+x_2,y) - (x_1,y)-(x_2,y) =0 ) mod T

これが示せればいいんですよね。


> # <d5fca405-58c9-4ee2-bf11-54d9c62f4...@o40g2000prn.googlegroups.com>
> # <cd700916-430e-4fed-9829-7759bdf7d...@s9g2000prm.googlegroups.com>
> # <7521a351-6f8d-4511-b214-42b494c3a...@k36g2000pri.googlegroups.com>
> # は同じ内容ですね.

投稿トラブるで失礼いいしました。


> # R は 1 をもつとしていて,

Rは単位的可換環でなければならないのですね。


> span(V×W) は V×W の
> # 全ての元を基底とする自由左R加群ですね.

V×Wの全ての元ですか,,?
ならV×Wの元は無限個ありますよね。
(V,Wは左R加群なので)
と言う事はspan(V×W)の次元は無限次元?


> span(V×W) の元は (x, y) (x ∈ V, y ∈ W) と書ける
> わけではありません.
>  Σ_{i=1}^N r_i (x_i, y_i)  (N: 自然数, r_i ∈ R, x_i ∈ V, y_i ∈ W)

そうですね。V×Wの元の一次結合として表せれるのですね。
覚えておきます。


> の形のものの全体です. (N が 0 なら, 零元を表すものと考え
> る約束もあります.)
>> V(×_R)Wは単にV(×)Wと書いたりもする。


> 各類を構成するのは span(V×W) の元ですから,
>  v(×)w = { u = Σ_{i=1}^N r_i (x_i, y_i) ; u ≡ (v,w) (mod T) }

{(x_1,y_1),(x_2,y_2),…,(x_N,y_N)}はspan(V×W)の基底なのですね。


> と書くべきでしょう. T を法とするときの, (v, w) を含む類を
> [(v, w)] と書くならば, v(×)w = [(v, w)] であるというのは
> その通り.
>  V(×)W = { [u] ; u ∈ span(V×W) }

これは大変参考になります。こっこんなにシンプルに書けるのですね!!


> 例えば, 一番最初の式は
>  [(v_1+v_2, w)] = [(v_1, w)] + [(v_2, w)]

そうですね。このように書けますね。



> ということです. 一般に類の和が又類になることを既に
> 知っているとすれば, これを示すのに必要なことは,
> span(V×W) の元 (v_1, w) + (v_2, w) が
> 類 [(v_1+v_2, w)] に入ること, 即ち,

一般での類別では集合Xの類をC(a)と表す事にすれば
(i) a∈C(a)
(ii) C(a)=C(b)⇔C(a)∩C(b)≠φ⇔a≡b(mod T)
(iii) X=∪{C(a);a∈X}
は知っていますが,,,
今,V(×)WはC(a)+C(b):=C(a+b)と定義すると群をなすから
"類の和が又類"が言えるのでしょうか?

実際,
v(×)w,v'(×)w'∈V(×)Wを採ると,v(×)w+v'(×)w'をどのように定義するのでしょうか?
(v+v')(×)(w+w'):=v(×)w+v'(×)w'と定義すると,
v+v'∈V,w+w'∈Wなので(v+v')(×)(w+w')∈V(×)Wとなり,
結合法則は(v(×)w+v'(×)w')+v"(×)w"=v(×)w+(v'(×)w'+v"(×)w").
零元の存在は0(×)0∈V(×)Wと採ればよい。
逆元の存在は(-v)(×)(-w)∈V(×)Wと採ればよい。
交換法則も明らか。
よってV(×)Wは(剰余)群をなす。
でいいのでしょうか?


>  (v_1+v_2, w) ≡ (v_1, w) + (v_2, w)  (mod T)
> となることだけです.

確かにこれが示せれば(ii)より[(v_1+v_2,w)]=[(v_1,w)+(v_2,w)]
=[(v_1,w)]+[(v_2,w)] (∵剰余群の定義)
と言えますね。


> # [(v_1, w)] + [(v_2, w)] は
> # [(v_1, w)] の代表元 (v_1, w) と
> # [(v_2, w)] の代表元 (v_2, w) との
> # span(V×W) での和 (v_1, w) + (v_2, w) が属する類
> # として定義されます.

つまり,加法を[(v_1, w)] + [(v_2, w)]:=[(v_1, w)+(v_2, w)]と定義するのですね。
右辺は(×)で表しようがありませんね。

すると
v(×)w,v'(×)w'∈V(×)Wを採ると,v(×)w:=(v,w)modT,v'(×)w':=(v',w')modTで表す事にすれば
((v,w)+(v',w'))modT=(v,w)modT+(v',w')modT …(*) と定義するのですね。
こう定義すると
結合法則は((v,w)modT+(v',w')modT)+(v",w")modT
=((v,w)+(v',w'))modT+(v",w")modT=(((v,w)+(v',w'))+(v",w"))modT
=((v,w)+((v',w')+(v",w")))modT(∵span(V×W)の元は和に関して結合法則をなす)
=(v,w)modT+((v',w')modT+(v",w")modT).
零元の存在は(0,0)modT∈V(×)Wと採ればよい。
逆元の存在は(-v,-w)modT∈V(×)Wと採ればよい。
交換法則も明らか。
よってV(×)Wは(剰余)群をなす。
でいいのでしょうか?


> # 又, 類 [x] と類 [y] が一致するには y ∈ [x] で
> # あれば十分です.

(ii)からそうですね。


> T の元を書くなら,
>    Σ_i a_i ((x_{i1}+x_{i2}, y_i) - (x_{i1}, y_i) - (x_{i2}, y_i))
>  + Σ_j b_j ((x_j, y_{j1}+y_{j2}) - (x_j, y_{j1}) - (x_j, y_{j2}))
>  + Σ_k c_k ((r_k x_k, y_k) - r_k (x_k, y_k))
>  + Σ_l d_l ((x_l, r_l y_l) - r_l (x_l, y_l))
> としないといけません.

私が掲げた
T:=span{(x_1+x_2,y)-(x_1,y)-(x_2,y),(x,y_1+y_2)-(x,y_1)-(x,y_2),
(rx,y)-
r(x,y),(x,ry)-r(x,y)}
の各生成元
(x_1+x_2,y)-(x_1,y)-(x_2,y), (x,y_1+y_2)-(x,y_1)-(x,y_2), (rx,y)-
r(x,y), (x,ry)-r(x,y)
はV×Wの元なのだからですね。
Σ_i a_i ((x_{i1}+x_{i2}, y_i) - (x_{i1}, y_i) - (x_{i2}, y_i))
+ Σ_j b_j ((x_j, y_{j1}+y_{j2}) - (x_j, y_{j1}) - (x_j, y_{j2}))
+ Σ_k c_k ((r_k x_k, y_k) - r_k (x_k, y_k))
+ Σ_l d_l ((x_l, r_l y_l) - r_l (x_l, y_l))
は確かにV×Wの基底の一次結合で表されてますね。


> もっとも,
>  (v_1+v_2, w) ≡ (v_1, w) + (v_2, w)  (mod T)
> を示すのは,
>  (v_1+v_2, w) - (v_1, w) - (v_2, w)
> が T の生成元の一つなのですから, 自明です.

なりほど。Tの定義から(v_1+v_2, w) - (v_1, w) - (v_2, w)∈Tになってますよね。
だから(v_1+v_2, w) ≡ (v_1, w) + (v_2, w)  (mod T)で
(ii)より(v_1+v_2, w)modT=((v_1, w) + (v_2, w))modT=(v_1, w)modT+(v_2,
w)modT(∵(*))
で(v_1+v_2)(×)w=v_1(×)w + v_2(×)wが成り立つのですね。

納得です。