大変ありがとうございます。


>  V×W の全ての元を集めたものが
> 基底です. 上の # の所に書いた通りです.

V×Wの全元がspan(V×W)の基底なのですよね。
左R加群VにおいてspanVではVの全元が基底になる事は一般的にはありませんよね。
なぜなら,Rの元が無限個なVの元は無限個あるのでどんなVでもspanVの次元は常に無限次元になってしまう。

そうしますと,Rの元が無限個ならV×Wの元も無限個ありますよね。
今まで線形空間でspanVは有限次元のものばかり扱ってきまして基底と言えばVの中で一次独立なベクトルの最大個数と習ってきましたが
一般的にspan(V×W)やspan(U×V×W)になった途端,
基底はV×WやU×V×Wの全元になってしまうのですね。
例として,左R加群V,Wの基底を{v_1,v_2,…,v_m},{w_1,w_2,…,w_n}とすると
v_1と2v_1は一次従属ですが(v_1,w_1)と(2v_1,w_1)は一次独立になるからなのですね。


> やはり勘違いされているようです.

そうでしたか。


> はそれぞれ別の有限個の V×W の元の一次結合になっているのですが,
> x, y, z の表示に現れる V×W の元を全部合わせても有限個ですから,
> それぞれの表示に現れない V×W の元の係数は 0 としたものを使えば,
>  x = Σ_{i=1}^p a_i (x_i, y_i)  (a_i ∈ R)
>  y = Σ_{i=1}^p b_i (x_i, y_i)  (b_i ∈ R)
>  z = Σ_{i=1}^p c_i (x_i, y_i)  (c_i ∈ R)
> と (x_i, y_i)  (1≦i≦p) が共通になっているとしても構いません.

これはわかります。書き方を統一できますね。


>> 加法に関して群をなす事を示す。 (i) 加法について閉じている事を示す。
>> x+y=(Σ[i=1..h]a_iv_i,Σ[i=1..j]b_iw_i)+
>> (Σ[i=1..k]c_iv_i,Σ[i=1..l]d_iw_i)
>> =(Σ[i=1..h]a_iv_i+Σ[i=1..k]c_iv_i,Σ[i=1..j]b_iw_i+Σ[i=1..l]d_iw_i) と数ベクトルのように成分同士足してもいいのでしょうか?
> 駄目です. 上のように


>  x = Σ_{i=1}^p a_i (x_i, y_i)  (a_i ∈ R)
>  y = Σ_{i=1}^p b_i (x_i, y_i)  (b_i ∈ R)
> としておけば,
>  x + y = Σ_{i=1}^p (a_i + b_i) (x_i, y_i)
> として加法が定義できます.

ありがとうございます。
覚えておきます。


> これも, 上のように
>  x = Σ_{i=1}^p a_i (x_i, y_i)  (a_i ∈ R)
>  y = Σ_{i=1}^p b_i (x_i, y_i)  (b_i ∈ R)
>  z = Σ_{i=1}^p c_i (x_i, y_i)  (c_i ∈ R)
> としておけば,
>  (x + y) + z = Σ_{i=1}^p ((a_i + b_i) + c_i) (x_i, y_i)
>  x + (y + z) = Σ_{i=1}^p (a_i + (b_i + c_i)) (x_i, y_i)
> から自明です.

そうですね。


>> (iii) 零元が存在することを示す。 左R加群の定義よりVとWには零元0_v,0_wが存在する。 よって span(V×W)の零元として(0_v,0_w)が採れる。
> (0_v, 0_w) は span(V×W) の零元 0 ではありません.
> 0(0_v, 0_w) ならそうです. 上の表示での
>  Σ_{i=1}^p 0(x_i, y_i)
> も同じ元を表しますから,
>  x + 0 = (Σ_{i=1}^p a_i (x_i, y_i)) + Σ_{i=1}^p 0(x_i, y_i)
>        = Σ_{i=1}^p (a_i + 0) (x_i, y_i)
>        = Σ_{i=1}^p a_i (x_i, y_i)
>        = x
> となります.

これも納得です。


>> 実際, x+(0_v,0_w)=(Σ[i=1..h]a_iv_i,Σ[i=1..j]b_iw_i)+(0_v,0_w)
>> =(Σ[i=1..h]a_iv_i+0_v,Σ[i=1..j]b_iw_i+0_w)
>> =(Σ[i=1..h]a_iv_i,Σ[i=1..j]b_iw_i)
> span(V×W) ではこのような等式は成立しません.

そうでしね。成分同士を足したりできないのでしたね。


>> (iii) 逆元が存在することを示す。 xの逆元として(-Σ[i=1..h]a_iv_i,-Σ[i=1..j]b_iw_i)が採れる。
> これも駄目です.
>> 実際,
>> (Σ[i=1..h]a_iv_i,Σ[i=1..j]b_iw_i)+(-Σ[i=1..h]a_iv_i,-Σ[i=1..j]b_iw_i)
>> =(Σ[i=1..h]a_iv_i-Σ[i=1..h]a_iv_i,Σ[i=1..j]b_iw_i-Σ[i=1..j]b_iw_i)
>> =(0_v,0_w).
> これは span(V×W) では成立しません.
>  x = Σ_{i=1}^p a_i (x_i, y_i)
> に対しては,
>  -x = Σ_{i=1}^p (-a_i) (x_i, y_i)
> です.

納得です。恐れ入ります。


>> (iv) 加法に関して可換である事を示す。 x+y=y+xは明らか。
>> (v) 乗法に関して閉じている事を示す。
> 必要なのは, 乗法ではなくて, R の作用 (スカラー倍) ですね.

そうでした。失礼いたしました。


>> xy=(Σ[i=1..h]a_iv_i,Σ[i=1..j]b_iw_i)(Σ[i=1..k]c_iv_i,Σ[i=1..l]d_iw_i)
>> =(Σ[i=1..h]a_iv_iΣ[i=1..j]c_iv_i,Σ[i=1..j]b_iw_iΣ[i=1..l]d_iw_i)) 両成分ともV,Wの元の一次結合として表されているので xy∈span(V×W)
> これは無意味です.

そうでしたね。左R加群に元同士の乗法の定義はありませんでしたね。


>  x = Σ_{i=1}^p a_i (x_i, y_i)
> と r ∈ R について,
>  r x = Σ_{i=1}^p (r a_i) (x_i, y_i)
> です.

覚えておきます。


>> (vi) 乗法に関して結合法則を示す。 (xy)z=x(yz)も(ii)と同様にして示される。
>  x = Σ_{i=1}^p a_i (x_i, y_i)
> と r, s ∈ R について,
>  r (s x) = Σ_{i=1}^p (r (s a_i)) (x_i, y_i)
> と
>  (r s) x = Σ_{i=1}^p ((r s) a_i) (x_i, y_i)
> が一致することが求められていて, これも自明です.

そうですね。


>> (vii) 分配法則, (α+β)x=αx+βy,α(x+y)=αx+αyも同様にして示される。
>> (viii) (αβ)x=α(βx)も同様にして示される。
> こういう「スカラー倍」についての話ですね.

さようでございます。


>> Rの単位元を1とすると (vix) 1x=xも明らか。
>> よってspan(V×W)は左R加群をなす。

ここでやはりRに単位元1が必要なのですね。


> それは良いとして,
>> したがって,
>>> これが零元であることを確かめてみると
>>> (0,0)modT+(x,y)modT=((0,0)+(x,y))modT(∵テンソル積の和の定義) =(x,y)modT
>>> (∵(0,0)はspan(V×W)での零元?) うーん,(0,0)がspan(V×W)の零元であることはどうやって言えますでしょうか?
>> 上記より(0,0)がspan(V×W)の零元である事が分かりましたので (0,0)modTがV(×)Wの零元になっているのですね。

これはTの生成元の形に持っていけませんね。


> これと
>> 続いて
>> > これが逆元である事を確かめてみると
>> > (x,y)modT+(-x,y)modT=((x,y)+(-x,y))modT うーん,これもこれら=(0,y)modTに持っていけません。
>> ((x,y)+(-x,y))≡(0,y) modTである事を示せばいいので
>> (x+(-x),y)-(x,y)-(-x,y)∈Tだから(∵Tの定義) 即ち,(0,y)-(x,y)-(-x,y)∈T 即ち,((x,y)+(-x,y))≡(0,y) modT
>> よって(-x,y)modTは確かに(x,y)modTの逆元になってますよね。

これは,(x+(-x),y)-(x,y)-(-x,y))∈Tと書けるのでOKです。


> これについては <081110044515.M0124...@cs1.kit.ac.jp>
> の記事を御覧下さい.

すいません。これはどこの記事の事を言っておられるのでしょうか?　ブラウザで閲覧しているのですが
081110044515.M0124...@cs1.kit.ac.jpというのが見当たりません。