ご回答誠に有難うございます。

>> まぁ書くとすれば
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop198_25__...
>> と書けばいいのですね。
> それはその通り. しかし, 証明としては不十分.
> きちんと極限の定義に戻って示す必要があります.

了解いたしました。

>> これを簡略化するために(a_n)_{n∈N}という
>> 風に円括弧を使ってあるのですね。
> わざわざそんな記号を使わなくても,
> 文章で書けば済むことです.

これも了解です。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_12_...
> 出鱈目ばかりですね. 意図すら不明.
> \prod_{n=1}^\infty (1 + a_n) が絶対収束するとは
> \sum_{n=1}^\infty a_n が絶対収束するということである,
> ということを書きたかったのでしょうか.

はい,さようです。 絶対収束という概念は級数やΠ_{n=0}^∞(1+a_n)の形の無限積に対しての概念ですよね。確かにΠ_{n=0}
^∞(1+a_n)Σ_{n=1}^∞ b_nが絶対収束とは意味不明ですね。
どのように訂正すべきでしょうか?

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_12_...
> ここはまあ良い.

ありがとうございます。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_12_...
> 複素関数入門の内容を前提とすれば,
> \prod_{n=1}^\infty (1 + u_n(z)) が絶対収束し,
> 正則関数になるという事実は良いが,
> その理由として書いてあることは出鱈目.

失礼いたしました。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_12_...
> ここは出鱈目な理由の続きで読む価値なし.
> 掛け算と足し算位は区別しましょう.

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_12__08.jpg
なら宜しいでしょうか?

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_12_...
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_12_...
> 別に間違ってはいないが, 意味もない.

えっ? どういう事でしょうか? holomorphicである理由を述べる必要がありますよね?

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_12_...
> 余り意味のある変形は行われていませんね.

何処か無駄な箇所がありますでしょうか?

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_12_...
>> という具合に上手くいきました。
> 定理 5.3 から定理 5.12 が成立することは
> それで明らかでしょう.

はい。

>> p112の定義5.10
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def5_10_p112...
>> を使えばいいのですね。
> これは無限積が絶対収束するということの定義ですね.

はい,そうです。

>> ところで無限積の定義についてですが
> それは定義 5.9 に書かれています.

そうですが、、、

>> 『∀n∈Nに対してa_n≠0)で∃!α∈C;α=Π_{n=1}^∞ a_nなら,
>> Π_{n=1}^∞ a_nはαに収束すると言い,
> それは駄目です. a_n \neq 0 でも
> \lim_{m \to \infty} \prod_{n=1}^m a_n = 0 となるなら,
> \prod_{n=1}^\infty a_n は収束するとは言いません.

無限積が=0になる場合は収束するとは言わずに0に発散すると言うのですね。

>> ∀n∈Nに対してa_n≠0)でα=Π_{n=1}^∞ a_nなるα∈Cが存在しない時は,
>> Π_{n=1}^∞ a_nは振動すると言い,
> 普通「振動」などという用語は使いません.

数列{a_n}がa_n=(-1)^nの場合,Π_{n=1}^∞は振動するとか言ったりしないのですね。


>> ∀n∈Nに対してa_n≠0)の時,α:=Π_{n=1}^∞ a_n=∞なら,
>> Π_{n=1}^∞ a_nは∞に発散すると言い,
> 収束する場合以外は全て単に「発散する」と言います.

級数や数列の極限や関数の極限の場合のように発散の仕方については細かく分類しないのですね。

>> ∃n∈N;a_n=0)の時,Π_{n=1}^∞ a_nは0に発散すると言う』
>> で正しいでしょうか?
> 違います. 幾つか有限個の番号 n の a_n が 0 であっても,
> 十分大きな番号 n \geq N についてはいつでも a_n \neq 0 であり,
> \lim_{m \to \infty} \prod_{n=N}^m a_n が存在して
> 0 でなければ, \prod_{n=1}^\infty a_n は収束すると言います.
> それ以外の場合は単に「発散する」です.

ありがとうございます。了解です。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_13_...
> " |z| \in R " ではなくて, |z| \leq R です.

すいません。どうも有難うございます。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_13_...
> (d/dz)(\log(\prod_{n=1}^\infty (1 - z^2/n^2))) と書いているものを
> (d/dz)(\prod_{n=1}^\infty (1 - z^2/n^2))/(\prod_{n=1}^\infty (1 -
> z^2/n^2))
> に戻してはいけません.

えっ? すいません。ではどのように訂正したらよいのでしょうか?

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_13_...
>> ところで1/z+Σ_{n=1}^∞ 2z/(z^2-n^2)=πcot(πz)と変形できるのは何故でしょうか?
> 岩波講座 現代数学への入門「複素関数入門」神保道夫著
> の 108 page, \S 5.2, 余接関数の部分分数分解 をお読み下さい.

大変ありがとうございます。

>> そして
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_13_...
>> にてf(z)=Csin(πz)と定数Cが出てくるのは何故なのでしょうか?
>  f'(z)/f(z) = \pi \cot(\pi z)
> を満たす f(z) の一般解が f(z) = C \sin(\pi z) であることは
> 初等的な微分方程式の話ですね.
>  (d/dz)(\log(f(z)) - \log(\sin(\pi z))) = 0
> から \log(f(z)) = \log(\sin(\pi z)) + c  (c は任意の複素数)
> ですが, これから f(z) = e^c \sin(\pi z) です.
> C = e^c としたわけです.

ありがとうございます。納得です。

>> あと,z=0でのfの微分係数f(0)'がπになる事からC=1を導き出しているようですが
> \lim_{z \to 0} f(z)/z = \pi だから, と書いてあります.

それはそうですが、、

>> どうしてf(0)'=πと言えるのでしょうか?
>  \lim_{z \to 0} f(z)/z
>   = \lim_{z \to 0} ((\pi z)/z) \prod_{n=1}^\infty (1 - z^2/n^2)
>   = \pi \lim_{z \to 0} \prod_{n=1}^\infty (1 - z^2/n^2)
>   = \pi \prod_{n=1}^\infty (1 - 0/n^2)
>   = \pi
> ですね.

ありがとうございます。
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_13__07.jpg
となったのですがどうしてlim_{z→0}とlim_{k→∞}を入れ換えれるのでしょうか?

>> f∈Map(A,C)(但しA⊂C)が(A⊃)B上で広義一様収束とは
>> 「∀z∈Bに対してB⊃∃F(z):閉近傍; fがF(z)で一様収束する」
>> という意味ですよね。
>> なのでf∈Map(A,C)(但しA⊂C)が(A⊃)B上で広義一様収束ではあるが
>> 一様収束ではないとはどのように言えるのでしょうか?
> \lim_{n \to \infty} f_n(z) = f(z)  (z \in D) が一様収束ではない
> ことを言うには,
> \epsilon > 0 に対して, どんなに大きな自然数 N を取っても,
> N \leq n なる n と z_n \in D で,
> |f_n(z_n) - f(z_n)| \geq \epsilon となるものが存在する
> ことを示します.

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_3__16.jpg
となったのですがkとxをどのように採れば|Σ_{n=k+1}^∞2x/(x^2-n^2)|>εとできましょうか?

>> でも広義一様収束ではあるのですよね?
> 広義一様収束となる領域 D は
> 一様収束となる領域 K_a の和集合 D = \cup_{a \in A} K_a
> となっていて, \epsilon > 0 に対して
> N_a \leq n であれば, |f_n(z) - f(z)| < \epsilon  (z \in K_a)
> が成立する自然数 N_a は a \in A ごとに異なっていて良いわけですが,
>> 広義一様収束にどのような制約が付いたものを一様収束というのでしょうか?
> 一様収束なら, 同じ N で, 任意の z \in D に対して,
> N \leq n であれば |f_n(z) - f(z)| < \epsilon でなければ
> なりません.

ありがとうございます。違いが分かりました。